Наталья А. Арапова‑Пискарева
Формирование элементарных математических представлений в детском саду. Программа и методические рекомендации. Для занятий с детьми 2‑7 лет

Библиотека программы воспитания и обучения в детском саду – 

Издательский текст http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=5814689
«Формирование элементарных математических представлений в детском саду. Программа и методические рекомендации»: МОЗАИКА‑СИНТЕЗ; М.; 2009
ISBN 978‑5‑86775‑353‑5

Аннотация 

Настоящее пособие является доработанным вариантом первого издания книги «Формирование элементарных математических представлений в детском саду». Пособие содержит уточненный и дополненный вариант программы и методических рекомендаций по развитию математических представлений у детей 2–7 лет, разработанных в традициях отечественной дошкольной педагогики.
Книга адресована широкому кругу специалистов дошкольного образования, а также студентам и преподавателям педагогических колледжей и вузов.
2‑е издание, исправленное и дополненное.

Наталья Арапова‑Пискарева
Формирование элементарных математических представлений в детском саду. Программа и методические рекомендации

Предисловие

Настоящее издание является частью методического комплекта к «Программе воспитания и обучения в детском саду» (под редакцией М. А. Васильевой, В. В. Гербовой, Т. С. Комаровой. – 4‑е изд., испр. и доп. – М.: Мозаика‑Синтез, 2006), которая в соответствии с современными задачами дошкольного образования предусматривает всестороннее развитие ребенка на основе его возрастных возможностей и индивидуальных способностей.
Ведущие цели «Программы» – создание благоприятных условий для полноценного проживания ребенком дошкольного детства, формирование основ базовой культуры личности, развитие психических и физических качеств, подготовка ребенка к жизни в современном обществе, к школе.
«Программа воспитания и обучения в детском саду» одобрена и рекомендована к использованию Министерством образования и науки Российской Федерации в учреждениях дошкольного образования.
К «Программе» подготовлены краткие «Методические рекомендации» (М.: Издательский дом «Воспитание дошкольника», 2005; М.: Мозаика‑Синтез, 2006), раскрывающие особенности организации и методики работы по всем основным разделам воспитания, обучения и развития ребенка в детском саду на разных возрастных этапах дошкольного детства.
Более подробные методические руководства к «Программе» содержатся в базовых методических пособиях: Гербова В. В. «Развитие речи в детском саду» (М.: Мозаика‑Синтез), Теплюк С. Н., Лямина Г. М., Зацепина М. Б. «Дети раннего возраста в детском саду» (М.: Мозаика‑Синтез), Комарова Т. С., Куцакова Л. В., Павлова Л. Ю. «Трудовое воспитание в детском саду» (М.: Мозаика‑Синтез) и др.
Пособие «Формирование элементарных математических представлений в детском саду» продолжает серию изданий данного учебно‑методического комплекта. Оно призвано помочь воспитателю реализовать на практике содержание работы по развитию математических представлений у детей дошкольного возраста. Книга включает усовершенствованный вариант «Программы воспитания и обучения в детском саду» по указанному разделу и методические рекомендации с комплексом наглядно‑практических и игровых методов и приемов обучения детей в возрасте от 2 до 7 лет (с первой младшей до подготовительной к школе группы), а также примеры построения занятий по математике в разных возрастных группах.
Данное пособие носит универсальный характер: оно может использоваться как самостоятельное для реализации задач обучения детей элементарной математике по разным образовательным программам, концептуально не противоречащим «Программе воспитания и обучения в детском саду». Также оно может легко комбинироваться с другими современными методическими пособиями и учебно‑наглядными материалами и рассматриваться в качестве одного из базовых при подготовке ребенка к обучению в школе по любой из действующих программ по математике для 1‑го класса.

ПРОГРАММА

Основные цели и задачи программы

Формирование количественных и пространственных представлений является важным условием полноценного развития ребенка на всех этапах дошкольного детства. Они служат необходимой основой дальнейшего обогащения знаний об окружающем мире, успешного овладения системой общих и математических понятий в школе.
Усовершенствованный вариант программы по развитию элементарных математических представлений является неотъемлемой частью всестороннего воспитания ребенка в детском саду.
В программе сохранено традиционное базовое содержание. Наряду с этим при доработке программы учитывались современные подходы к обновлению содержания и методов дошкольного образования с позиции комплексного развития личности ребенка дошкольного возраста. В связи с этим программа ориентирована прежде всего на практическую реализацию задач всестороннего воспитания ребенка и развития его творческих способностей на широкой интегративной основе, которая предполагает объединение задач обучения детей элементарной математике с содержанием других компонентов дошкольного образования, таких как развитие речи, ознакомление с окружающим миром, изобразительная деятельность, конструирование и др.
Исходные принципы построения программы эффективно обеспечивают как определенный уровень общего психического развития ребенка, так и его собственно математических способностей на основе овладения в соответствии с возрастными возможностями детей кругом необходимых представлений, доступных понятий, отношений, зависимостей (количество, число, порядок, равенство – неравенство, целое – часть, величина – мера и др.), а также некоторых умений и навыков (счет, измерение, классификация и др.).
Таким образом, в широком контексте программа нацелена на формирование основ интеллектуальной культуры личности и тех качеств, которые необходимы ребенку для успешного вхождения в «большую школьную жизнь», овладения навыками учебной деятельности; развития любознательности, самостоятельности, произвольности, инициативности, коммуникативности, творческого самовыражения.
Значительное внимание в программе уделяется развитию психических процессов: слухового и зрительно‑пространственного восприятия, внимания, речи, памяти, воображения, а также зрительно‑моторных координаций. На основе привлечения внимания к количественным и пространственным отношениям предметов, их моделирования у детей формируются навыки умственной деятельности, первые логические операции, развиваются творческое и вариативное мышление, способность мыслить и действовать самостоятельно. Важнейшее значение в программе придается анализу, сопоставлению, противопоставлению связанных между собой понятий и действий, выяснению сходства и различия в рассматриваемых фактах, развитию умения делать простейшие выводы и обобщения.
В процессе организации работы по программе особое внимание уделяется формированию у ребенка умения последовательно излагать свои мысли, включаться в разнообразную совместную познавательную деятельность, использовать математические знания для решения конкретных жизненных проблем, взаимодействовать со взрослыми и другими детьми в ходе выполнения заданий, внимательно слушать, объяснять свои действия при выполнении упражнений. Эти предварительные умения создают необходимую основу для успешного изучения математики и других предметов в начальной школе.

Принципы отбора содержания и реализации программы

Цели и задачи программы достижимы при условии органического сочетания обучения с воспитанием; развивающего характера обучения, который предполагает активное использование метода моделирующих действий, эмоционально‑деятельностный подход и сотворчество воспитателя и детей, практическую направленность занятий математикой и их привлекательность для дошкольников, всесторонний учет возрастных и психофизиологических особенностей детей, преемственность содержания обучения в детском саду с примерной программой по математике для начальной школы.
Содержание программы характеризуется комплексностью. В ней объединены элементы арифметической, геометрической, логической и символической пропедевтики.
Реализация программы предполагает широкое использование наглядно‑практических и проблемно‑поисковых методов обучения, детского экспериментирования, самостоятельного «открытия» ребенком некоторых математических закономерностей, проведения различных операций с множествами и величинами (формирование множеств; выделение, объединение, удаление частей множества; деление непрерывных величин на части и измерение их с помощью условных мер; рассмотрение отношений целого и части и т. д.).
В новом варианте программы расширен диапазон изучения чисел натурального ряда и предусмотрена возможность обучения детей счетным операциям в пределах 20. Однако введение этого программного материала может осуществляться только на основе обязательного учета особенностей развития детей конкретной группы и при условии осознанного овладения ими навыками счета до 10.
Знакомство с понятием натурального числа строится в программе на основе параллельного обучения детей счету предметов и измерению непрерывных величин (протяженностей, объемов) с помощью условных мер.
Число рассматривается как результат измерения с помощью условной меры длины отрезка, объема жидкого или сыпучего вещества. В то же время число является результатом счета отдельных предметов. Таким образом, знакомство с предметными множествами и непрерывными величинами подводит ребенка к пониманию того, что число есть результат измерения предметов или их счета. Оно является показателем отношения величины к единице измерения, то есть целого к его части.
Большое внимание в программе уделяется геометрической пропедевтике: выполнению разнообразных игровых и практических упражнений, связанных с обследованием фигур на плоскости и в пространстве, анализом их свойств, развитием умения выделять в них сходство и различия, классифицировать, упорядочивать, конструировать, создавать фигуры по собственному замыслу, по выкройке, образцу, описанию, представлению; развитию геометрической зоркости: умению распознавать фигуры на рисунке, чертеже, видеть форму предметов в целом и отдельных частей, а также представленных в различных ситуациях.
Программа предлагает использование геометрического материала для развития у детей наглядно‑образного и элементов абстрактного мышления. Так, при ознакомлении детей с различными геометрическими фигурами (кругом, овалом, многоугольником, отрезком) воспитатель использует их в качестве наглядной основы для развития счетных навыков, представления о долях величин и их отношениях, решения различных практических задач (в том числе арифметических). Геометрические фигуры также широко используются для развития умения доказывать, делать доступные умозаключения и обобщения.
В программе уточнено содержание работы по развитию представлений о пространстве и времени, определены задачи по формированию умения оперировать средствами, выраженными в знаково‑символических формах, понимать значение некоторых общепринятых условных обозначений (знаков, символов), «читать» простейшую графическую информацию, предназначенную для решения различных жизненных задач (изображение направления движения объектов в пространстве; ориентирование в схемах, планах, маршрутных картах).

Структура программы

В программе нашли отражение пять основных содержательно‑методических линий, которые соответствуют пяти основным тематическим блокам: «Количество и счет», «Величина», «Форма», «Ориентировка в пространстве», «Ориентировка во времени». Объем программного содержания этих разделов от одной возрастной группы к другой расширяется и углубляется. Это обеспечивает доступность и постепенность в рассмотрении различных вопросов на разных возрастных ступенях, что создает оптимальные условия для формирования у детей необходимых представлений, умений и навыков.
Программа и методические рекомендации для средней, старшей и подготовительной к школе групп содержат пять указанных разделов.
Впервые в программу включен образовательный материал по развитию элементарных математических представлений у детей третьего года жизни (первая младшая группа). Для детей этого возраста программа (соответственно и методические рекомендации) включает только четыре раздела: «Количество», «Величина», «Форма», «Ориентировка в пространстве».
В первой и второй младших группах первый раздел программы и методических рекомендаций назван «Количество», так как детей третьего и четвертого года жизни считать не учат, а лишь знакомят с различными количественными образованиями и отношениями, развивают сенсорный опыт ребенка, необходимый для успешного овладения счетной деятельностью на последующих этапах дошкольного детства.

Программный материал для первой младшей группы

Количество 
Привлекать детей к формированию групп однородных предметов. Учить различать количество предметов: много – один  (один – много ), много – мало  (мало – много ).
Величина 
Привлекать внимание детей к предметам контрастных размеров и их обозначению в речи (большой  дом –маленький  домик, большая  матрешка– маленькая  матрешка, большие  мячи – маленькие  мячи и т. д.).
Форма 
Учить различать предметы по форме и называть их (кубик, кирпичик, шар ).
Ориентировка в пространстве 
Продолжать накапливать у детей опыт практического освоения окружающего пространства (помещений группы и участка детского сада). Учить находить спальную, игровую, туалетную и другие комнаты.
Расширять опыт ориентировки в частях собственного тела (голова, лицо, руки, ноги, спина).
Учить двигаться за воспитателем в определенном направлении.

К концу года ребенок может 

• Активно участвовать в образовании групп из однородных предметов.
• Различать много предметов и один предмет.
• Различать большие и маленькие предметы, называть их размер.
• Узнавать шар и куб.
• Знать расположение и назначение основных помещений группы: («где играем, умываемся, спим, раздеваемся и одеваемся на прогулку»),
• Показывать на себе, где находится голова (и то, что находится на голове), ноги, лицо, спина, руки и т. д.

Программный материал для второй младшей группы

Количество 
Развивать умение видеть общий признак предметов группы (все мячи – круглые, эти – все красные, эти – все большие и т. д.).
Учить составлять группы из однородных предметов и выделять из них отдельные предметы; различать понятия много, один, по одному, ни одного ; находить один и несколько одинаковых предметов в окружающей обстановке; понимать вопрос «Сколько?»; при ответе пользоваться словами много, один, ни одного. 
Сравнивать две равные (неравные) группы предметов на основе взаимного сопоставления элементов (предметов). Познакомить с приемами последовательного наложения и приложения предметов одной группы к предметам другой; учить понимать вопросы: «Поровну ли?», «Чего больше (меньше)?»; отвечать на вопросы, пользуясь предложениями типа: «Я на каждый кружок положил грибок. Кружков больше, а грибов меньше» или «Кружков столько же, сколько грибов».
Величина 
Сравнивать предметы контрастных и одинаковых размеров; при сравнении размеров предметов соизмерять один предмет с другим по заданному признаку величины (длине, ширине, высоте, величине в целом), пользуясь приемами наложения и приложения; обозначать результат сравнения словами: длинный – короткий, одинаковые  (равные ) по длине, широкий – узкий, одинаковые  (равные ) по ширине, высокий – низкий, одинаковые  (равные ) по высоте, большой – маленький, одинаковые  (равные ) по величине. 
Форма 
Познакомить детей с геометрическими фигурами: кругом, квадратом, треугольником.  Учить обследовать форму фигур, используя зрение и осязание.
Ориентировка в пространстве 
Развивать умение ориентироваться в расположении частей своего тела и в соответствии с ними различать пространственные направления от себя: вверху – внизу, впереди – сзади  (позади ), справа – слева.  Учить различать правую и левую руки.
Ориентировка во времени 
Помогать ориентироваться в контрастных частях суток: день – ночь, утро – вечер. 

К концу года ребенок может 

• Группировать предметы по цвету, размеру, форме (отбирать все красные, все большие, все круглые предметы и т. п.).
• При поддержке взрослого составлять группы из однородных предметов и выделять один предмет из группы.
• Находить в окружающей обстановке один и много одинаковых предметов.
• Определять количественное соотношение двух групп предметов; понимать конкретный смысл слов: больше – меньше, столько же.
• Видеть разницу в размерах двух предметов по длине (ширине, высоте, величине в целом); показывать (называть), какой из двух предметов большой – маленький, длинный – короткий, широкий – узкий, высокий – низкий или они одинаковые.
• Различать круг, квадрат, треугольник, предметы, имеющие углы и круглую форму.
• Понимать смысл обозначений: впереди – сзади, вверху – внизу, слева – справа, на, над – под, верхняя – нижняя (полоска).
• Понимать смысл слов: утро, вечер, день, ночь.

Программный материал для средней группы

Количество и счет 
Дать детям представление о том, что множество («много») может состоять из разных по качеству элементов: предметов разного цвета, размера, формы; учить сравнивать части множества, определяя их равенство или неравенство на основе составления пар предметов (не прибегая к счету). Вводить в речь детей выражения: «Здесь много кружков, одни – красного цвета, а другие – синего; красных кружков больше, чем синих, а синих меньше, чем красных» или «красных и синих кружков поровну».
Учить считать до 5, пользуясь правильными приемами счета: называть числительные по порядку; соотносить каждое числительное только с одним предметом пересчитываемой группы; относить последнее числительное ко всем пересчитанным предметам, например: «Один, два, три – всего три кружка».
Сравнивать две группы предметов, именуемые числами 1–2, 2–2, 2–3, 3–3, 3–4, 4–4, 4–5, 5–5. Формировать представление о равенстве и неравенстве групп на основе счета: «Здесь один, два зайчика, а здесь одна, две, три елочки. Елочек больше, чем зайчиков; 3 больше, чем 2, а 2 меньше, чем 3».
Учить уравнивать неравные группы двумя способами, добавляя к меньшей группе один (недостающий) предмет или убирая из большей группы один (лишний) предмет. («К 2 зайчикам добавили 1 зайчика, стало 3 зайчика и елочек тоже 3. Елочек и зайчиков поровну: 3 и 3» или: «Елочек больше (3), а зайчиков меньше (2). Убрали 1 елочку, их стало тоже 2. Елочек и зайчиков стало поровну: 2 и 2».)
Отсчитывать предметы из большего количества; выкладывать, приносить определенное количество предметов в соответствии с образцом или заданным числом в пределах 5 (отсчитай 4 петушка, принеси 3 зайчика).
Считать предметы на ощупь, считать звуки, движения (в пределах 5).
На основе счета устанавливать равенство (неравенство) групп предметов в ситуациях, когда предметы в группах расположены на разном расстоянии друг от друга, когда они отличаются по размерам, по форме расположения в пространстве.
Величина 
Совершенствовать умение сравнивать два предмета по величине (длине, ширине, высоте), а также учить способам сравнения предметов по толщине путем непосредственного наложения или приложения их друг к другу; отражать результаты сравнения в речи, используя прилагательные: длиннее – короче, шире – уже, выше – ниже, толще – тоньше или равные  (одинаковые ) по длине, ширине, высоте, толщине. 
Учить соизмерять предметы по двум признакам величины (красная лента длиннее и шире зеленой, желтый шарфик короче и уже синего).
Устанавливать размерные отношения между 3–5 предметами разной длины (ширины, высоты), толщины, располагать их в определенной последовательности – в порядке убывания или нарастания величины; вводить в активную речь детей понятия, обозначающие размерные отношения предметов («Эта (красная) башенка – высокая , эта (оранжевая) – ниже , эта (розовая) – еще ниже , а эта (желтая) – еще ниже,  желтая башенка – самая низкая » и т. д.).
Форма 
Развивать представление детей о геометрических фигурах: круге, квадрате, треугольнике, шаре, кубе, цилиндре.  Учить выделять особые признаки фигур с помощью зрительного и осязательно‑двигательного анализаторов (наличие или отсутствие углов, устойчивость, подвижность и др.).
Познакомить с прямоугольником , сравнивая его с кругом, квадратом, треугольником. Различать и называть прямоугольник, его элементы: углы и стороны.
Формировать представление о том, что фигуры могут быть разных размеров: большой – маленький куб (шар, цилиндр, круг, квадрат, треугольник, прямоугольник).
Учить соотносить форму предметов с известными геометрическими фигурами: тарелка – круг, платок – квадрат, мяч – шар, стакан – цилиндр, окно, дверь – прямоугольник и др.
Ориентировка в пространстве 
Развивать умения определять пространственные направления от себя, двигаться в заданном направлении (вперед – назад, направо – налево, вверх – вниз ); обозначать словами положение предметов по отношению к себе (передо мной стол, справа от меня дверь, слева окно, сзади на полках – игрушки ).
Познакомить с пространственными отношениями: далеко – близко  (дом стоит близко, а березка растет далеко).
Ориентировка во времени 
Расширять представления детей о частях суток, их характерных особенностях, последовательности (утро – день – вечер – ночь ).
Объяснить значение слов: вчера, сегодня, завтра. 

К концу года ребенок может 

• Различать, из каких частей составлена группа предметов, называть их характерные особенности (цвет, размер, назначение).
• Считать до 5 (количественный счет), отвечать на вопрос «Сколько всего?».
• Сравнивать количество предметов в группах на основе счета (в пределах 5), а также путем поштучного соотнесения предметов двух групп (составления пар); определять, каких предметов больше, меньше, каких равное количество.
• Сравнивать два предмета по величине (больше – меньше, выше – ниже, длиннее – короче, одинаковые, равные) на основе приложения их друг к другу или наложения.
• Различать и называть круг, квадрат, треугольник, шар, куб, знать их характерные отличия.
• Определять положение предметов в пространстве по отношению к себе (впереди – сзади, вверху – внизу); двигаться в нужном направлении по сигналу: вперед и назад, вверх и вниз (по лестнице).
• Различать правую и левую руки.
• Определять части суток.

Программный материал для старшей группы

Количество и счет 
Учить создавать множества (группы предметов) из разных по качеству элементов (предметов разного цвета, размера, формы, назначения; звуков, движений); разбивать множество на части и воссоединять их; устанавливать отношения между целым множеством и каждой его частью, понимать, что множество больше части, а часть меньше целого множества; сравнивать разные части множества на основе счета и соотнесения элементов (предметов) один к одному; определять большую (меньшую) часть множества или их равенство.
Учить считать до 10; последовательно знакомить с образованием каждого числа в пределах 5–10 (на наглядной основе).
Сравнивать рядом стоящие числа в пределах 10 на основе сравнения конкретных множеств; получать равенство из неравенства (неравенство из равенства), добавляя к меньшему количеству один предмет или убирая из большего количества один предмет («7 меньше 8; если к 7 добавить один предмет, будет по 8, поровну», «8 больше 7; если из 8 предметов убрать один, то станет по 7, поровну»).
Отсчитывать предметы из большого количества по образцу и заданному числу (в пределах 10).
Считать предметы на ощупь, считать и воспроизводить количество звуков, движений по образцу и заданному числу (в пределах 10).
Познакомить с порядковым счетом в пределах 10, учить различать вопросы: «Сколько?», «Который?» («Какой?») и правильно отвечать на них.
Продолжать формировать представление о равенстве: определять равное количество в группах, состоящих из разных предметов; правильно обобщать числовые значения на основе счета и сравнения групп (здесь 5 петушков, 5 матрешек, 5 машин – всех игрушек поровну – по 5).
Уточнять понимание независимости числа от величины предметов, расстояния между предметами, формы, их расположения, а также направления счета (справа налево, слева направо, с любого предмета).
Познакомить с количественным составом числа из единиц в пределах 5 на конкретном материале: 5 – это один, еще один, еще один, еще один и еще один.
Формировать понятие о том, что предмет (лист бумаги, лента, круг, квадрат и др.) можно разделить на несколько равных частей (на две, четыре). Учить называть части, полученные от деления; сравнивать целое и части, понимать, что целый предмет больше каждой своей части, а часть меньше целого.
Величина 
Учить устанавливать размерные отношения между 5–10 предметами разной длины (высоты, ширины) или толщины: систематизировать предметы, располагая их в возрастающем (убывающем) порядке по величине; отражать в речи порядок расположения предметов и соотношение между ними по размеру: «Розовая лента – самая широкая , красная – немного уже , фиолетовая – еще уже , но она шире  коричневой, а черная уже  коричневой и всех  остальных лент: коричневой, красной, фиолетовой, розовой.
Сравнивать два предмета по величине (длине, ширине, высоте) опосредованно – с помощью третьего (условной меры), равного одному из сравниваемых предметов.
Развивать глазомер детей, умение находить в специально организованной обстановке предметы длиннее (короче), выше (ниже), шире (уже), толще (тоньше) образца и равные ему.
Форма 
Познакомить детей с овалом  на основе сравнения его с кругом и прямоугольником.
Дать представление о четырехугольнике : подвести к пониманию того, что квадрат и прямоугольник являются разновидностями четырехугольника.
Развивать геометрическую зоркость: умение анализировать и сравнивать форму знакомых предметов, находить в ближайшем окружении предметы одинаковой и разной формы: книги, картины, одеяла, крышки столов – прямоугольные; подносы и блюдо – овальные; тарелки, крышки и дно у кастрюль – круглые и т. д.
Ориентировка в пространстве 
Совершенствовать умение ориентироваться в окружающем пространстве, понимать смысл пространственных отношений: вверху – внизу, впереди  (спереди ) – сзади  (за ), слева – справа, между, рядом с, около ; двигаться в заданном направлении, меняя его по сигналу, а также в соответствии со знаками – указателями направления движения (вперед, назад, налево, направо  и т. п.); определять свое местонахождение среди окружающих людей и предметов: «Я стою между  Олей и Таней, за  Мишей, позади  (сзади ) Кати, перед  Наташей, около  Юры»; обозначать в речи взаимное расположение предметов: «Справа от  куклы сидит заяц, а слева от  куклы стоит лошадка, сзади  мишка, а впереди  – машина».
Учить ориентироваться на листе бумаги (справа – слева, вверху – внизу, в середине, в углу ).
Ориентировка во времени 
Дать детям представление о том, что утро, вечер, день, ночь составляют сутки. 
Учить на конкретных примерах устанавливать последовательность различных событий: что было раньше  (сначала ), что позже  (потом ), определять, какой день сегодня,  какой был вчера,  какой будет завтра. 

К концу года ребенок может 

• Выделять составные части группы предметов, их признаки, различия и сходства, сравнивать части на основе счета предметов и составления пар; понимать, что целая группа предметов больше каждой своей части (часть меньше целого).
• Считать (отсчитывать) в пределах 10.
• Правильно пользоваться количественными и порядковыми числительными (в пределах 10), отвечать на вопросы: «Сколько?», «Который по счету?».
• Сравнивать рядом стоящие числа в пределах 10 (опираясь на наглядность), устанавливать, какое число больше (меньше) другого; уравнивать неравные группы предметов двумя способами (удаление и добавление единицы).
• Сравнивать предметы по длине (ширине, высоте, толщине) с помощью наложения, приложения и на глаз.
• Размещать предметы различной величины (до 7–10) в порядке возрастания, убывания их длины (ширины, высоты), толщины; понимать относительность признака величины предметов.
• Определять свое местонахождение среди предметов и людей, а также положение одного предмета по отношению к другому.
• Знать некоторые характерные особенности знакомых геометрических фигур (количество углов, сторон, равенство, неравенство сторон).
• Различать форму предметов: круглую, треугольную, четырехугольную.
• Знать, что утро, день, вечер, ночь составляют сутки; последовательность частей суток.
• Называть текущий день недели.

Программный материал для подготовительной к школе группы

Количество и счет 
Развивать общие представления о множестве: умение формировать множества по заданным основаниям, видеть составные части множества, в которых предметы отличаются определенными признаками.
Упражнять в операциях объединения, дополнения множеств, удаления из множества одной части или нескольких его частей. Устанавливать отношения между отдельными частями множества, а также целым множеством и каждой его частью на основе счета, составления пар предметов, соединения предметов стрелками или замещения реальных предметов символами.
Совершенствовать навыки количественного и порядкового счета в пределах 10. В зависимости от особенностей усвоения детьми программного материала знакомить их со счетом в пределах 20; показать, как образуются числа второго десятка.
Познакомить с цифрами от 0 до 9.
Закреплять понимание отношений между числами натурального ряда (7 больше 6 на 1, а 6 меньше 7 на 1), умение увеличивать и уменьшать каждое число на 1 (в пределах 10).
Учить называть числа в прямом и обратном порядке (устный счет), последующее и предыдущее число к названному или обозначенному цифрой, определять пропущенное число.
Познакомить с составом чисел второго пятка из единиц (на конкретном материале).
Учить раскладывать число на два меньших и составлять из двух меньших большее (в пределах 10, на наглядной основе).
Познакомить с монетами достоинством 1, 5, 10 копеек, 1, 2, 5, 10 рублей (различение, набор и размен монет).
Учить на наглядной основе составлять и решать простые арифметические задачи на сложение (к большему прибавляется меньшее) и на вычитание (вычитаемое меньше остатка); при решении задач пользоваться знаками действий: плюс (+), минус (–) и знаком отношения равно (=).
Величина 
Учить считать по заданной мере, когда за единицу счета принимается не один, а несколько предметов или часть предмета.
Делить предмет на 2–8 и более равных частей путем сгибания предмета (бумаги, ткани и др.), а также используя условную меру; правильно обозначать части целого (половина, одна часть из двух  (одна вторая ), две части из четырех  (две четвертых ) и т. д.); устанавливать соотношение целого и части, размера частей; находить части целого и целое по известным частям.
Формировать у детей первоначальные измерительные умения. Учить измерять длину, ширину, высоту предметов (отрезки прямых линий) с помощью условной меры  (бумаги в клетку).
Учить измерять объем жидких и сыпучих веществ с помощью условной меры.
Дать представления о весе  предметов и способах его измерения. Сравнивать вес предметов (тяжелее – легче ) путем взвешивания их на ладонях. Познакомить с весами.
Развивать представление о том, что результат измерения (длины, веса, объема предметов) зависит от величины условной меры.
Форма 
Уточнить знание известных геометрических фигур, их элементов (углы, вершины, стороны  и др.) и некоторых свойств.
Дать представление о многоугольнике  (на примере треугольника и четырехугольника), точке, прямой линии, отрезке, прямой .
Учить распознавать фигуры независимо от их пространственного положения, изображать, располагать на плоскости, упорядочивать по размерам, классифицировать, группировать по нескольким признакам (цвету и форме, размеру и цвету, форме и размеру).
Конструировать и моделировать фигуры; составлять из нескольких треугольников один многоугольник, из нескольких маленьких квадратов – один большой прямоугольник; из частей круга – круг, из четырех отрезков – четырехугольник, из двух коротких отрезков – один длинный и т. д.; конструировать геометрические фигуры по образцу и выкройкам, словесному описанию, перечислению характерных свойств; составлять тематические композиции из фигур по собственному замыслу.
Анализировать форму предметов в целом и отдельных их частей; воссоздавать сложные по форме предметы (фигуры) из отдельных частей по контурным образцам, по описанию, представлению.
Ориентировка в пространстве 
Учить детей ориентироваться на ограниченной поверхности (лист бумаги, учебная доска, страница тетради, книги и т. д.). Познакомить с тетрадью, страницей, клеткой, строчкой, столбцом. Учить располагать предметы и их изображения на плоскости в указанном направлении, отражать в речи их пространственное расположение (вверху, внизу, выше, ниже, слева, справа, левее, правее, в левом верхнем  (правом нижнем ) углу, за, перед, между, рядом  и т. д.).
Познакомить с планом, схемой, маршрутной картой. Развивать способность к моделированию пространственных отношений между объектами в виде рисунка, плана, схемы.
Учить «читать» простейшую графическую информацию, обозначающую пространственные отношения объектов и направление их движения в пространстве (слева направо, справа налево, снизу вверх, сверху вниз )) самостоятельно передвигаться в пространстве, ориентируясь на условные обозначения направления движения (знаки и символы).
Ориентировка во времени 
Дать детям элементарные представления о некоторых свойствах времени: его текучести, периодичности, необратимости; о последовательности всех дней недели, месяцев, времен года.
Учить пользоваться в речи словами‑понятиями: сначала, потом, до, после, раньше, позже  (позднее ), в одно и то же время. 
Развивать «чувство времени», умение беречь время, регулировать свою деятельность в соответствии со временем; различать длительность отдельных временных интервалов (1 минута, 10 минут, 1 час ). Учить определять время по часам с точностью до 1 часа.

К концу года ребенок может 

Уметь 
• Самостоятельно объединять различные группы предметов, имеющие общий признак, в единое множество и удалять из множества отдельные его части (часть предметов). Устанавливать связи и отношения между целым множеством и различными его частями (частью); находить части целого множества и целое по известным частям.
• Считать до 10 и дальше (количественный, порядковый счет в пределах 20).
• Называть числа в прямом (обратном) порядке до 10, начиная с любого числа натурального ряда (в пределах 10).
• Соотносить цифру (0–9) и количество предметов.
• Составлять и решать задачи в одно действие на сложение и вычитание; при решении пользоваться цифрами и арифметическими знаками (+, –, =).
• Различать величины: длину (ширину высоту), объем (вместимость), массу (вес), время и способы их измерения.
• Измерять длину предметов, отрезков прямых линий, объемы жидких и сыпучих веществ с помощью условных мер. Понимать зависимость между величиной меры и числом (результатом измерения).
• Делить предметы (фигуры) на несколько равных частей. Сравнивать целый предмет и его часть. Соотносить величину предметов и частей.
• Распознавать, называть: отрезок, угол, многоугольники, шар, куб, цилиндр; проводить их сравнение.
• Воссоздавать из частей, видоизменять геометрические фигуры по условию и конечному результату; составлять из малых форм большие.
• Сравнивать предметы по форме; узнавать знакомые фигуры в предметах реального мира.
• Ориентироваться в окружающем пространстве и на плоскости (лист, страница, поверхность стола и др.), обозначать взаимное расположение и направление движения объектов; пользоваться простейшими условными (знаковыми) обозначениями.
• Определять временные отношения (день – неделя – месяц), время по часам с точностью до 1 часа.
Знать 
• Состав чисел первого десятка (из отдельных единиц) и состав чисел первого пятка из двух меньших.
• Как получить каждое число первого десятка, прибавляя единицу к предыдущему и вычитая единицу из следующего за ним в ряду.
• Монеты достоинством 1, 5, 10 копеек; 1, 2, 5 рублей; их набор и размен.
• Название текущего месяца года; последовательность всех дней недели, времен года.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Общие вопросы организации обучения по программе

В целях результативности обучения детей по программе формирования элементарных математических представлений особое внимание следует уделять организации в дошкольном образовательном учреждении интерактивной предметно‑развивающей среды. Она позволяет воспитателю вовлечь детей в близкие им виды деятельности и манипулятивные игры с предметами ближайшего окружения, создать благоприятную обстановку для рассмотрения различных математических фактов и зависимостей на специальных занятиях, организовать активную самостоятельную поисковую деятельность каждого ребенка в повседневной жизни.
При таком деятельностном подходе к обучению содержание программы по элементарной математике выступает в роли важного звена, связующего работу по развитию умственных способностей с развитием других сторон личности ребенка.
В ходе обучения воспитатель создает в группе атмосферу игры, которая радует детей, побуждает думать, размышлять, высказываться, решать интересную и значимую задачу.
Особая роль в создании образовательно‑развивающей среды отводится дидактическим играм и пособиям, которые помогают учить детей мыслить, анализировать, сравнивать предметы и их группы, выявлять существенные признаки, устанавливать связи, моделировать объекты и др. К ним относятся игры и конструкторы серии «Лето», различные лото, домино, логические блоки Дьенеша, палочки Кюизенера, картинки‑головоломки, карточки‑схемы, маршрутные карты и многое другое.
На занятиях по элементарной математике важно также обеспечить смену различных видов деятельности. Поэтому в группе в свободном доступе детей должны находиться разнообразные наборы мелких однородных и неоднородных предметов, игрушек, а также различный природный и бытовой (бросовый) материалы (крышки и пробки от бутылок, вышедшие из употребления пуговицы, шишки, желуди, бобы, ракушки и др.). Они могут успешно использоваться для упражнений в счете, сравнения количественных групп, установления взаимно‑однозначного соответствия, группировки, классификации, сериации предметов и т. д. Наряду с перечисленными пособиями должны быть представлены раздаточные картинки, карточки для наложения и приложения предметов и их изображений, различные наборы лент, дощечек одинаковой и разной величины (цвета), числовые фигуры, измерительные приспособления, которыми пользуются дети для самостоятельных упражнений, а также разнообразный демонстрационный материал и оборудование (счетные таблицы, наборные полотна, числовая лесенка для показа образования чисел натурального ряда; фланелеграф, наборы крупных однородных предметов (игрушек) и их изображений, крупные модели геометрических и числовых фигур, цифр и др.).
Важным условием успешной работы воспитателя является гибкость в выборе форм обучения элементарной математике, хорошо продуманная и интересная система игровых занятий.
Воспитателю необходимо правильно определить место каждого занятия среди других, сделав его звеном единой цепи. В разделе «Методические рекомендации» приводятся возможные варианты построения отдельных занятий по развитию элементарных математических представлений в разных возрастных группах детского сада. Эти занятия носят примерный характер и предполагают импровизацию – творческий подход воспитателя как в отборе дидактического материала, перечня рассматриваемых вопросов, так и построении самих занятий. Наряду с этим необходимо помнить, что на занятиях обязательно должна быть предусмотрена индивидуальная работа воспитателя с каждым ребенком, а также активная самостоятельная деятельность всех детей.
Реализуя программу по формированию элементарных математических представлений, воспитатель учитывает уровень развития детей своей группы и особенности обеспечения ее наглядным (демонстрационным, раздаточным) материалом. Исходя из этого он намечает программные задачи, структуру, содержание занятий, подбирает методические приемы и соответствующие дидактические игры и упражнения. Важно, чтобы занятия с аналогичными программными задачами в каждом отдельном случае (с учетом этапа обучения) строились по‑разному, поддерживая интерес детей к ним.
Формы организации занятий и их структура многообразны. Они зависят от возраста и подготовленности детей, программного содержания занятий, соотношения фронтальных видов работы и количества индивидуально выполняемых заданий и упражнений.
В ходе занятия детям предоставляется право свободно перемещаться по групповой комнате, подходить к полкам с игрушками, строительному материалу и т. п. Они могут располагаться за столами, группой вокруг воспитателя, а также произвольно размещаться на ковре, в беседке и т. д. Занятия и игры с математическим содержанием можно проводить не только в группе или во время прогулок на участке детского сада, но также во время экскурсий за пределы участка детского сада: в магазин, на почту, по улицам города (поселка), на природу. Эти прогулки дают богатый материал для развития математических представлений детей (счет предметов, сравнение, измерение величин, развитие глазомера, различение формы предметов окружающего мира, ориентировка в пространстве и др.).
Важное значение для успешной работы по программе имеет личностно‑ориентированное, позитивное отношение к ребенку воспитателя, которое не должно зависеть от реальных успехов воспитанника. В начале обучения воспитатель предоставляет каждому ребенку возможность работать в присущем ему темпе, постепенно увеличивая его. Учитывая возрастные возможности и индивидуальные особенности детей, воспитатель увеличивает также и объем работы. Он положительно оценивает каждый удавшийся шаг ребенка, попытку самостоятельно найти ответ на поставленный вопрос, тем самым содействуя развитию его самостоятельности и активности.
Очень полезно давать детям творческие задания: что‑то придумать, догадаться, подобрать похожие ситуации, найти решения. Под руководством воспитателя дети активно ищут ответ на поставленный вопрос, рассуждают, анализируют, сравнивают, нередко ошибаются, но при его поддержке находят нужное решение. При этом воспитатель дает каждому ребенку возможность почувствовать себя равноправным членом детского творческого коллектива, понять, насколько важно его участие в общем поиске решения проблемной ситуации; стремится создать атмосферу взаимопонимания и доверия детей друг другу и взрослому.
Необходимым условием успешной реализации программы является развитие у детей дошкольного возраста интереса к математике, поддержка и поощрение любого проявления полезной детской инициативы. Важно демонстрировать дошкольникам успехи всех детей группы и успех каждого ребенка в отдельности, в особенности детей с низким уровнем активности и самостоятельности.
Такой подход к организации работы по программе создает благоприятные условия для своевременного развития основ интеллектуальной деятельности ребенка, его разносторонних способностей, а также позволяет обеспечить необходимый уровень предшкольной математической подготовки.

Первая младшая группа
(от двух до трех лет)

На третьем году жизни у ребенка важно сформировать первоначальные представления о количественных и качественных различиях предметов ближайшего окружения. В этот период перед воспитателем стоит задача – учить детей разнообразно действовать с предметами: собирать однородные предметы вместе, отсоединять часть предметов (игрушек) от основной группы, с помощью взрослого отбирать игрушки одинакового цвета, величины, формы (такие же ), передвигать их в разных направлениях: вперед, назад, вправо, влево от себя (туда, сюда ), нанизывать, накладывать один предмет на другой и т. п. Сначала детей учат нанизывать на штативы кольца, шарики; собирать из трех‑пяти и более колец одноцветные и разноцветные пирамидки; затем раскладывать кольца, расставлять пирамидки в порядке убывания (возрастания) их величины, составлять одинаковые и разные по цвету башенки из трех и более последовательно уменьшающихся деталей, разбирать и собирать народные дидактические игрушки: матрешки, яйца, бочонки и т. п., выкладывать из деталей строительного материала одноцветные и разноцветные, длинные и короткие дорожки и т. п. Таким образом, развитие количественных представлений должно быть тесно связано с формированием сенсорного опыта ребенка. 
В первой младшей группе с детьми не проводятся специальные занятия по развитию математических представлений. Любая деятельность детей третьего года жизни создает благоприятные условия для развития таких представлений. Наряду с этим отдельные понятия, такие как много – один, один – много, много – мало, мало – много , могут быть рассмотрены в ходе регламентированных игр‑занятий в качестве их составной части (занятий по ознакомлению с окружающим миром, конструированию, лепке и др.). Подобные занятия с математическим содержанием проводят с небольшими подгруппами детей (6–8 человек). Причем в этих случаях они органически вводятся в контекст основных занятий.
Важное требование к таким занятиям – строгая дозировка программного материала, доступность и привлекательность содержания детям, их деятельностно‑игровой характер.
В организации работы по ознакомлению детей с количеством, величиной, цветом, формой предметов выделяются несколько этапов, в ходе которых последовательно решается ряд общих дидактических задач. Необходимо:
• приучать малышей наблюдать за действиями взрослых с предметами, слушать, как эти действия характеризуются;
• привлекать детей к активному участию в совместных с воспитателем действиях по составлению групп однородных предметов, сопровождать действия соответствующими словами, поощрять их речевую активность;
• побуждать детей называть свойства предметов, повторять сказанное за воспитателем (о количестве, величине, форме, цвете предметов).
Таким образом, для формирования элементарных представлений о количестве важно создать условия для развития восприятия и речи.
Уровень сформированности психических процессов у детей третьего года жизни (особенно восприятия, внимания, памяти, мышления и др.) диктует необходимость предоставления им полного, развернутого образца всех действий. Все упражнения выполняются вместе с воспитателем или с его помощью.  Он подсказывает последовательность выполнения каждого действия, дает образцы всех речевых конструкций.
В процессе игр‑занятий воспитатель учит детей рассматривать различные группы предметов, замечать их существенные признаки (цвет, форму, величину); группировать однородные предметы по указанным признакам, называть их количество, оперируя словами много – один, один – много, много – мало, мало – много. 
Количество 
В процессе занятий по ознакомлению с количеством в первой младшей группе воспитатель решает следующие задачи: учит детей различать контрастные количественные образования, создавать группы предметов по количественному признаку, подражая действиям взрослого, отвечать на вопрос «сколько?» словами много – один, один – много. 
На начальном этапе ознакомления детей с количеством воспитатель привлекает их внимание к группам однородных игрушек, побуждает рассмотреть их, уточняет название («Кто это?», «Что это?») и только затем переходит к понятию количества, сказав: «Как много у нас зайчиков (мишек, куколок)!».
В следующий раз воспитатель привлекает детей к активному участию в создании группы из однородных предметов. Эта работа проводится с учетом особенностей наглядно‑действенного типа мышления ребенка двух лет. Наглядно‑деятельностным для детей должен быть сам процесс образования группы путем добавления предметов к предмету. Этот процесс доступен детям. Под руководством воспитателя они создают группу (группы) одинаковых игрушек, а затем называют их количество. (Много. ) Например, воспитатель выкладывает на стол небольшие кубики (7–10 штук один за другим) и поясняет: «Вот кубик, вот еще кубик, еще кубик, еще кубик…», затем заключает: «Здесь много кубиков !» (При этом он жестом показывает на все кубики.) Дети повторяют: «Много». Потом взрослый предлагает детям показать, как много у них на столе кубиков. Он говорит, обращаясь к каждому ребенку: «Оля (Саша, Юра…), покажи кубики» и уточняет: «Все кубики  покажи». Продолжая акцентировать внимание детей на количестве предметов, воспитатель радостно восклицает: «Вот как много кубиков !» Затем вновь спрашивает: «Сколько  у нас кубиков, Оля (Саша, Юра…)?» Ответы детей он подтверждает словами: «Да, кубиков много ».
С детьми первой младшей группы многократно повторяются разнообразные игровые действия с группами знакомых игрушек, например, под руководством воспитателя малыши то убирают кубики в коробку, то достают их и ставят на стол, то нагружают ими машину, то сгружают с машины. При этом каждый раз воспитатель побуждает детей сказать фразу: «Кубиков много ». Важно, чтобы на первых учебно‑игровых занятиях группы предметов создавались из однородных игрушек (одинакового вида, цвета, величины, формы, материала).
По мере того как дети овладевают умением образовывать группы однородных предметов и отвечать на вопрос «сколько?», воспитатель учит их создавать группы из предметов, объединенных каким‑либо характерным признаком. Например, он предлагает каждому ребенку взять флажок красного цвета: «Наташа, возьми красный флажок, – говорит он. – И ты, Саша, возьми красный флажок!.. И я возьму красный флажок!» Спрашивает: «Сколько у нас флажков?» (Много. ) «Какого они цвета?» (Какие они? – Красные. ) Затем воспитатель ставит свой флажок в вазу и предлагает каждому ребенку тоже поставить свой флажок в вазу; он обращает внимание на количество флажков в вазе (много ), их цвет (красные ). Далее он привлекает внимание детей к коробке с синими флажками: заглядывает в нее, показывает их детям, спрашивает: «Что в коробке? (Флажки. ) Какие? (Синие. ) Сколько  их? (Много. )». Сравнивает количество синих и красных флажков: «В вазе много красных  флажков, а в коробке – много синих  флажков». Затем обобщает: «Красных флажков много  и синих тоже много ». Таким образом, сравнивая группы предметов по количественному признаку, воспитатель дает детям образцы соответствующих речевых конструкций.
Аналогичные упражнения проводятся с желтыми и зелеными флажками, синими и желтыми мячами и т. д.
Воспитатель специально создает различные игровые ситуации, чтобы дети еще и еще раз могли поупражняться в умении отвечать на вопрос «сколько ?». Например, он отмечает, сколько у них игрушек того или иного вида, цвета, размера (больших, маленьких), пуговиц на пальто или на юбке у куклы, сколько кукол пьет чай, зайцев пляшет, матрешек гуляет и т. п. (Много. )
По мере того как дети овладеют умением образовывать группы однородных предметов, понимать и отвечать на вопрос со значением «сколько?», воспитатель может ставить перед ними новые задачи: различать и называть неравные по количеству группы и обозначать их словами: много – один, один – много , а затем – много – мало, мало – много. 
Начинать обучение нужно с противопоставления контрастных количественных образований, то есть с игровых действий на сравнение группы предметов с одним предметом. Например, воспитатель инсценирует приход матрешек в гости к детям. Он акцентирует внимание на их количестве: «Сколько матрешек пришло к нам в гости! Много!» Предлагает каждому ребенку взять матрешку и спрашивает: «Сколько ты держишь матрешек?», затем помогает ребенку ответить: «Одну  матрешку». Он побуждает ребенка повторить новую фразу. Затем педагог привлекает внимание детей к тому количеству матрешек, которое осталось на столе. Вместе они устанавливают, что их много. Воспитатель обобщает: «У Оли – одна матрешка,  у Саши – одна матрешка,  у Алеши – одна матрешка  и у меня тоже одна матрешка.  А сколько  их на столе?». «Много», – отвечают дети. «Да, на столе матрешек много,  а у каждого – только одна », – заключает педагог.
Или другой пример. Поставив на стол вазу с цветами (или флажками), воспитатель спрашивает: «Сколько цветов (флажков) в вазе? (Много.)» Затем берет из вазы один цветок (флажок) и предлагает каждому ребенку, тоже не спеша, взять из вазы один цветок (флажок): «Тебе – один цветок (флажок), тебе – один цветок (флажок), тебе – один цветок (флажок)» и т. д. Обращаясь, то к одному, то к другому ребенку, воспитатель спрашивает: «Сколько  у тебя цветков (флажков)? (Один. ) Сколько их осталось в вазе? (Много. )» В конце воспитатель подводит итог: «У каждого из вас (у Вани, Коли, Тани) – один  цветок (флажок), а в вазе – много  цветков (флажков)!»
Игр и игровых упражнений на различие понятий один – много  можно придумать множество, например, игры‑забавы с пальчиками: на руке у ребенка много  пальцев, но вдруг они спрятались в ладошку, и остался только один  пальчик. Можно прочитать детям потешку «Пальчик‑пальчик, где ты был?», сопровождая чтение соответствующими движениями своих пальцев и пальцев ребенка.
Можно также организовать игровые упражнения с более активными движениями детей. Приведем пример. Вокруг воспитателя собирается много  детей. Затем они разбегаются в разные стороны, и рядом с воспитателем остается только один ребенок. («Только одна  Олечка».) Потом дети прибегают обратно. Их становится опять много.  Дети вновь разбегаются в разные стороны. Теперь с воспитателем остается одна  Анечка и т. д.
Нужно помнить, что подобные упражнения должны иметь хорошую концовку: на руке обязательно появляются все пальчики, все дети обязательно возвращаются к воспитателю и т. п.
С целью закрепления понятий много – один, один – много  можно использовать различные подвижные игры, например: «Воробышки и кот», «Кот и мыши», «Зайцы и мишка», «Солнышко и дождик» и др.
Воспитатель может провести игру «Один и много», используя различные мелкие предметы: колечки, шишки, желуди, шарики и т. п. Для этого он кладет на стол один предмет, а немного поодаль – много таких же предметов. Затем берет один предмет, прячет его в руке и предлагает детям сделать то же самое. Несколько раз воспитатель угадывает, в какой руке и сколько предметов спрятали дети. Затем дети угадывают, в какой руке спрятал предмет воспитатель. После этого воспитатель предлагает детям спрятать все предметы (колечки или шарики) в ладошках. Оказывается, что этого сделать нельзя – много предметов не помещается в руке. Воспитатель указывает на один предмет и говорит: «Один  шарик спрятался в ладошке, а много  – нет!» Указывая на группу предметов, взрослый спрашивает, сколько их. «Много», – произносят дети вместе с воспитателем. Затем он говорит: «Возьмите каждый из большой кучки по одному колечку». Дети выполняют задание, а воспитатель комментирует: «У Наташи – одно колечко, у Тани – одно колечко, у Сережи – одно». Далее предлагает: «Покажите, у кого еще одно колечко?» Дети показывают. «Теперь положите свои колечки (шарики, шишки и т. д.) на стол (в корзиночку). У каждого было одно колечко (шарик, шишка), а вместе сколько?» «Много», – отвечают дети.
В завершение воспитатель может дать каждому ребенку маленькую коробочку или корзиночку и предложить положить в нее сначала один  предмет, а потом много  предметов.
В дальнейшем воспитатель предоставляет каждому ребенку возможность создавать бо́льшие и меньшие группы предметов и обозначать их количество словами: много – мало, мало – много.  Например, он предлагает достать из коробки зайчиков, поставить их на стол и ответить на вопрос: «Сколько  зайчиков?»; затем просит показать каждого зайчика (вместе с воспитателем дети показывают): «Вот зайчик, вот, вот, вот… Вот сколько их! Много!». Далее воспитатель привлекает внимание детей к коробке с остальными зайчиками и спрашивает: «Сколько зайчиков осталось в коробке?». «Вот и вот», – показывают дети. «Мало, – заключает воспитатель, – всего два зайчика. На столе много  зайчиков, а в коробке – мало ».
В другой раз воспитатель выкладывает на стол много  одинаковых игрушек (например, 10) и произносит: «Как много у нас петушков (елочек, грибков)!» Затем отодвигает 2–3 игрушки и обращает внимание детей на две неравные группы предметов: «Здесь много  петушков, – говорит он и показывает на игрушки. – А здесь – мало ». При этих словах воспитатель может прикрыть руками меньшую часть игрушек. «Видите, их мало.  Сколько?» – спрашивает воспитатель. «Мало », – произносят дети. «А здесь?» – воспитатель вновь обращает внимание детей на бо́льшую часть предметов. «Их много. Я не могу их все спрятать», – говорит воспитатель, прикрывая руками лишь часть предметов бо́льшей группы.
Повторяя действия еще раз и соотнося слова много, мало  с соответствующими группами предметов, дети учатся различать и называть их.
Затем они подражают действиям взрослого: сами отодвигают часть игрушек от общей группы и обозначают словами каждую группу: «Много кубиков – мало кубиков ».
Целесообразно закреплять представления детей о количестве на основе проведения игр и игровых упражнений «Расскажем про наши игрушки», «Сколько спряталось игрушек?», «Сколько мы нашли игрушек?», «Что в мешочке?», «Кому сколько нужно?», «Спрячем шарики в ладошках» и др.
В первой младшей группе закрепление представлений о количестве может также успешно проводиться на занятиях по рассматриванию картин и иллюстраций.
В ходе организации игр и упражнений воспитатель следит за тем, чтобы дети не ограничивались определением количества предметов (один – много – мало ), а называли и сами предметы (много уточек  (рыбок, собачек ) – одна уточка  (рыбка, собачка ); много кукол  (машин, зайчиков ) – мало кукол  (машин, зайчиков )).
Величина и форма 
Как на занятиях, так и вне занятий воспитатель формирует у детей начальные представления о величине и форме предметов окружающего мира. Он постоянно обращает внимание детей на размер предметов, содействует формированию опыта различения предметов, показывает и одновременно называет размеры предметов (большой  ботинок взрослого – маленький  ботинок ребенка, большая  кукла – маленькая  кукла, большие  машины (лопатки, лейки и пр.) – маленькие  машины (лопатки, лейки и пр.)), активно использует в обучении игрушки, имеющие ярко выраженную форму сенсорных (геометрических) эталонов (например, кубики, кирпичики, шары), побуждает различать и правильно называть их.
Сооружая из строительного материала различные постройки, обыгрывая их с детьми, воспитатель привлекает внимание малышей к тому, из каких деталей (из чего) они созданы, какого они цвета и размера, например, большой стол (стул) построили для большого Миши из больших кирпичиков, маленький стол (стул) построили маленькому Мишутке из маленьких кирпичиков.
С целью развития представлений о величине и форме предметов с детьми проводятся разнообразные манипулятивные действия с предметами, например, собирание шариков в корзиночку (коробочку), разбирание и собирание игрушек‑вкладышей (трехместных матрешек, бочонков, грибочков, разноцветных конусов, коробочек и пр.), соотнесение предметов с фигурными отверстиями дидактических столиков, составление разрезных картинок из двух частей, а также дидактические игры типа «Шароброс», «Кто найдет такой же?», «Прокати такой же шарик», «Что ты достал?», «Что в мешочке?» и др.
Ориентировка в пространстве 
Развитие ориентировок в пространстве является важным условием общего развития ребенка. Поэтому на третьем году жизни, как и в более раннем возрасте, у ребенка необходимо накапливать опыт восприятия ближайшего пространственного окружения. В основе этой работы лежит метод развития ориентировок в частях собственного тела. Воспитатель привлекает внимание ребенка к самому себе, помогает ему «открыть образ себя», развивает дифференцированное восприятие отдельных частей тела, их пространственное расположение, учит показывать на себе, где голова, лицо, ноги, руки, спина, живот; на лице – глаза, уши, рот, губы, нос. Сообщает, что глазами мы смотрим, ушами – слушаем и т. д., руками держим ложку, чашку, играем, рисуем и т. д., ногами ходим, бегаем и т. д. В более старшем возрасте знание пространственного расположения частей своего тела будет служить ребенку образной моделью системы координат трех основных парных пространственных направлений: вверху – внизу, впереди – сзади, справа – слева.
В работе по развитию представлений о пространственном расположении частей тела воспитатель может широко использовать игры‑шутки, которые многократно повторяются с разными подгруппами детей и со всеми детьми вместе, вызывая у них радостные эмоции. Эти игры построены на ритме стиха, сопровождаются припевками и поговорками, а также разнообразными движениями, содействующими их лучшей координации: «Водичка‑водичка», «Ладушки», «Где же, где же наши ручки?», «Мы руки поднимаем…», «Маленькие ножки бежали по дорожке…», «Зайка беленький сидит» и др.
Наряду с развитием ориентировок в частях собственного тела воспитатель целенаправленно обращает внимание детей на то, что их окружает в детском саду и на участке детского сада: знакомит с названием, расположением и предназначением отдельных помещений групповой комнаты, размещением игрушек и предметов обихода, указывает и называет места их расположения, хранения личных вещей. В повседневной жизни объясняет: «Мы играем здесь (показывает) – в игровой комнате, она большая, в ней много игрушек…», «Мы умываемся, моем руки и лицо, причесываемся здесь – в умывальной (туалетной) комнате; здесь (показывает и называет) – в спальной – спим; здесь – в раздевальной комнате – раздеваемся, когда приходим с прогулки и одеваемся на прогулку».
Воспитатель также учит детей узнавать свой групповой участок, постоянно знакомит с расположением игрового оборудования: «Это – наш участок, здесь мы гуляем, играем», называет и показывает, где находится оборудование для игр: «Здесь  – песочница, где можно поиграть с песком, тут  – качели, на которых мы качаемся, вот  – беседка (веранда): в ней на скамейке можно посидеть, отдохнуть, спрятаться от дождя, а вон там  – клумба (дорожка) с цветами. Цветы – красивые. Мы любуемся ими, бережем их. Там  мы не бегаем, цветы не топчем» и т. д.
Развитию пространственных ориентировок способствуют разные виды деятельности детей: занятия по ознакомлению с окружающим миром, конструированию, физкультурные, музыкальные. Важное место в этой работе принадлежит игровым действиям – играм с имитацией (показом) различных направлений движения объектов в пространстве: «Покажем кукле, куда полетели птички (где сидит ворона, клюет зернышки воробышек, куда побежала кошка, покатился мяч)», «Укажем, где спрятался Мишка‑Топтыжка», «Где звенит колокольчик?».
С детьми также проводятся подвижные игры, требующие определенного направления передвижения в пространстве, такие как «Догоним мяч», «Добежим до флажка», «Достанем игрушку», «Прятки», «Поезд», «Птички летают» и др.
Постепенно дети приучаются слышать предлоги и наречия, выражающие пространственные отношения, а также соотносить их с местом расположения конкретного предмета (в, на, за, под, здесь, там, тут, туда, сюда  и др.). В то же время воспитатель побуждает детей к тому, чтобы они повторяли за ним и сами использовали в речи некоторые предлоги и наречия, обозначающие пространственные отношения (тут, там, на, под  и др.)

Организация игровых упражнений на различение количества, цвета, размера, формы предметов, а также умелое руководство опытом развития первых пространственных ориентировок создают необходимую основу для успешного формирования познавательных действий и умений на следующих возрастных этапах развития ребенка.

Вторая младшая группа
(от трех до четырех лет)

Во второй младшей группе, как и в первой, у детей активно формируют представление о свойствах предметов ближайшего окружения; с ними организуют разнообразные игры‑упражнения на группировку предметов, учат объединять однородные предметы в группы и характеризовать конкретные признаки предметов этих групп: «Здесь все красные (синие, желтые, зеленые)», «Эти все круглые, а эти все с уголками, тут все большие (длинные, высокие), а там – маленькие (короткие, низкие)».
В группе детей четвертого года жизни используется дочисловой метод обучения, задача которого – подвести ребенка к пониманию количественных отношений. Но развитие представлений о количестве во второй младшей группе имеет свои особенности: у детей формируют представления о множестве как о совокупности , состоящей из отдельных элементов (предметов). Дети учатся действовать с различными предметными группами, сравнивать их количество, сопоставляя предметы двух множеств, поэлементно устанавливая, равные они или неравные, и обозначая результаты сравнения словами: больше – меньше, поровну, столько – сколько, одинаково.  В средней и старшей группах на этой основе у детей формируются навыки счета и представление о числе.
Наряду с этим детей знакомят с приемами сравнения предметов контрастных размеров по длине, ширине, высоте; дают первые представления о геометрических фигурах: круге, квадрате, треугольнике ; учат обследовать, различать их, группировать; различать пространственные направления от себя: вверху – внизу, впереди – сзади, направо  (справа ) – налево  (слева ); формируют элементарные представления о частях суток: день – ночь, утро – вечер. 
Занятия математикой проводятся со второй половины сентября один раз в неделю (32–34 занятия в год). В сентябре и октябре продолжительность занятия не должна превышать 10 минут. С октября время занятий постепенно увеличивают до 12–15 минут. В начале года занятия целесообразно проводить по подгруппам.
Обучение на занятиях носит наглядно‑действенный характер.  Дети усваивают знания на основе восприятия действий воспитателя и его пояснений, а также посредством самостоятельных действий с дидактическим материалом.
Математические представления лучше усваиваются маленькими детьми, если преподносятся им в игровой форме. Поэтому занятия нужно проводить в форме дидактической игры  с использованием различных сюрпризных моментов (неожиданное появление «гостей», игрушек, предметов и т. п.). Следует также организовывать разнообразные игры с активными движениями, стремиться к тому, чтобы в игровом действии по возможности одновременно участвовали все дети.
Большое значение в развитии элементарных математических представлений имеет работа с раздаточным материалом , умение выполнять действия в определенной последовательности (накладывать предметы на их изображения, на карточки‑образцы, а затем класть предметы под них). Счетный дидактический материал следует давать индивидуально каждому ребенку в коробке или на подносе.
Как и в первой младшей группе, воспитатель дает детям образцы всех приемов работы, детально разъясняет последовательность операций. Объяснения следует давать кратко, четко, в темпе, доступном восприятию ребенка. Каждый способ действия нужно показывать 2–3 раза, особо выделяя новый. Многократный показ с одновременным называнием одних и тех же действий в разных ситуациях и с разным наглядным материалом способствует их лучшему усвоению.
Математические представления формируются у детей в определенной последовательности, с учетом того, что они уже знают и умеют.

Таблица 1 

Примерное распределение программного материала на год 

1Знакомство с этим программным материалом не ограничивается указанным числом занятий. Изучение данного материала может проводиться на других занятиях по математике, во второй их части.
2С данными терминами детей не знакомят.
3Последовательность ознакомления с темами 3, 6, 7, 8 определяется воспитателем произвольно.

Количество 
Занятия по теме «Количество» следует начинать с упражнений на выделение качественных признаков предметов. Например, детям предлагают найти среди нескольких игрушек такую же, как у воспитателя. Затем дается задание выбрать среди 2–3 игрушек разного цвета (размера или формы) игрушку такого же цвета (размера, формы).
На следующем этапе обучения проводятся упражнения на подбор и группировку предметов по заданным признакам, например, можно использовать такие задания: «Положи все кубики красного цвета в этот ящик», «В эту коробку сложи всех маленьких матрешек, а в эту – всех больших». В результате дети начинают понимать, что предметы можно объединить в группу по какому‑нибудь общему признаку: «Это куклы. Это мячи, они все – синие. Это флажки, они все – красные. Их много».
Воспитатель развивает умение детей выделять признаки, являющиеся общими только для части предметов группы, например, показывает, что флажков много, но одни флажки желтые, а другие – синие. («Много желтых и много синих флажков».)
В формировании представлений о количестве используются игровые упражнения на составление группы из однородных предметов и дробление группы на отдельные предметы. Например, воспитатель показывает одинаковые игрушки в количестве, равном числу детей в группе. Обратив их внимание на то, что игрушек много , предлагает каждому ребенку взять по одной  игрушке: «Маша, возьми одного  зайчика; Ваня, и ты возьми одного  зайчика» и т. д. Дети видят, что в результате таких действий «много» исчезает. Воспитатель подчеркивает: «У каждого по одному  зайчику, а на «полянке» (ковре) не осталось ни одного ». Затем предлагает каждому ребенку «выпустить погулять на полянку» своего зайчика – в результате зайчиков (игрушек) опять становится много.  Воспитатель обращает внимание на то, что на «полянке» вновь стало много  зайчиков, а у детей (Маши, Вани, Коли и т. д.) не осталось ни одного.  В ходе таких упражнений дети начинают понимать, что каждая группа состоит из отдельных предметов, учатся выделять один предмет из группы, различать понятия много  и один.  При этом понятия много  и один  не противопоставляются друг другу, как это имело место в первой младшей группе (вот – много, а вот – один), а взаимодействуют: один  выступает в роли составной части много.  При проведении таких упражнений воспитатель должен чаще задавать детям вопрос «сколько?»; побуждать их употреблять слова много, один, ни одного ; следить за тем, чтобы, отвечая, они называли как количество, так и предметы (один зайчик, много зайчиков ).
Познакомив детей с тем, что множество (группа) состоит из отдельных предметов, воспитатель начинает упражнять их в самостоятельном нахождении групп однородных (много ) и единичных предметов (один ) в окружающей обстановке. Для этого одни и те же игрушки (предметы) располагают по одной и группой из 3–5 штук. Сначала воспитатель у себя на столе ставит группу (много) петушков и рядом одного петушка, затем так же расставляет другие игрушки в разных местах комнаты. Например, на один стул сажает одну  куклу, а на другой – много ; на один стол ставит одну  машину, на другой – много.  Потом предлагает первому ребенку подойти к столу, где стоит один  автомобиль, второму – к столу где много  автомобилей, третьему – к столу где одна  кукла, четвертому – к столу где много  кукол, и рассказать, у кого сколько игрушек. В результате дети начинают понимать, что одних и тех же предметов может быть и один , и много. 
Далее задания усложняются. Воспитатель ставит на стол какую‑либо одну игрушку и много игрушек другого типа (например, одну  елочку и много  зайчиков) и предлагает детям сказать, каких игрушек на столе много , а какая только одна. 
Наряду с этим воспитатель показывает детям, как нужно раскладывать указанное количество предметов (один, много ) на полосках бумаги. Дает, например, такие задания: «Поставь один грибок на красную полоску», «Поставь много грибков на синюю полоску», «Положи один кружок на верхнюю полоску», «Положи много кружков на нижнюю полоску».
Затем можно предложить детям поискать, каких предметов в групповой комнате много , а какой только один  (много  стульев, столов; один  шкаф, аквариум), найти один  и много  предметов на участке детского сада.
На следующем этапе работы по формированию количественных представлений детей учат сравнивать две группы предметов, знакомят с отношениями равенства и неравенства. Важно научить детей соотносить каждый предмет одной группы с каждым предметом другой и таким путем выяснять (без счета), в какой группе предметов больше , в какой меньше  или их поровну. 
Для этого детей обучают приемам наложения  и приложения  предметов. Начинать надо с самого простого приема – наложения. Воспитатель показывает, как нужно последовательно накладывать предметы (3–5) на их изображения. Когда дети освоят этот прием, следует научить их подкладывать (прикладывать) предметы точно под их изображения на картинке (карточке), строго выдерживая расстояние между ними.
Научив детей соотносить предметы путем наложения друг на друга и приложения друг к другу, можно начинать учить их устанавливать равенство или неравенство групп, определять соотношения между ними: поровну, столько – сколько, больше – меньше.  В этих целях используют задания на сопоставление элементов двух групп предметов (составление пар предметов, поштучное соотнесение). Например, дети выясняют, поровну ли кукол и чашек, зайчиков и морковок; каких предметов больше (меньше) – ведерок или совочков, синих или красных кружков. Для сравнения даются группы предметов, содержащие равное (от 1 до 5) и неравное количество предметов (больше, меньше на один). С этой целью полезно проводить дидактические игры «Куклы в гостях», «Уложи кукол спать» и т. п., побуждая детей сравнивать группы предметов и говорить, каких больше, каких меньше, каких равное количество. (Красных кружков больше, чем синих. Синих кружков меньше, чем красных. Красных кружков столько, сколько синих. )
В процессе занятий воспитатель активизирует речь детей, постоянно изменяя количественное соотношение между одними и теми же предметами, например, делает так, чтобы синих кружков было то больше, то меньше, то столько же, сколько красных. Необходимо изменять и пространственное расположение предметов в сравниваемых группах, например, размещать большее (меньшее) количество предметов то в верхнем, то в нижнем ряду наборного полотна, то на верхней, то на нижней полоске карточки. В ходе таких упражнений дети узнают, что предметов разного вида и цвета (мишек и машин, зеленых и желтых шаров и т. п.) может быть больше, меньше, поровну. 
Следует также познакомить детей с приемами сравнения (способами наложения и приложения) количества предметов разных размеров. Так, сопоставляя группы больших и маленьких кубиков (на каждый большой кубик ставят один маленький), дети выясняют, что один маленький кубик остался без пары, значит, маленьких  кубиков больше , а больших – меньше.  В подобных упражнениях следует предлагать различные варианты соотношений: больших  игрушек больше, маленьких меньше; больших меньше, маленьких больше; больших  и маленьких поровну. 
Важное значение при сравнении групп предметов имеет опора на разные органы чувств. Например, сначала детей учат откладывать на столе по одной игрушке на каждое действие воспитателя, например, хлопок в ладоши, удар в бубен или палочкой по столу; на следующих занятиях предлагают хлопнуть в ладоши столько раз, сколько игрушек на столе (1–3). Затем можно дать задание послушать, сколько раз взрослый ударил молоточком, и хлопнуть столько же раз в ладоши (1–3 раза).
В ходе таких упражнений дети овладевают умением попарно сопоставлять элементы двух множеств, воспринимаемых разными анализаторами.
Величина 
В возрасте трех лет дети способны отличать большие предметы от маленьких, но не умеют обозначать размерные отношения словами и различать сравнительно близкие величины. Поэтому в игровой форме детей знакомят с тем, как можно сравнивать два предмета (две ленты, полоски бумаги, два брусочка и др.), резко отличающиеся по длине, ширине, высоте, величине в целом. Их учат понимать и использовать слова, обозначающие соотношение предметов по размеру: длинный – короткий, широкий – узкий, высокий – низкий, большой – маленький. 
Сначала для сравнения даются предметы, отличающиеся друг от друга только по одному признаку величины: это могут быть две ленты одного цвета, одинаковые по ширине, сделанные из одного и того же материала, но разные по длине; при этом одна лента должна быть намного длиннее (короче) другой – это поможет ребенку выяснить признак длины.
Упражняя детей в сравнении предметов по величине, необходимо жестом показывать им, что является длиной, шириной, высотой того или иного предмета. Например, сравнивая длину двух лент, воспитатель проводит рукой вдоль каждой из них (слева направо) и поясняет: «Эта лента длинная, а эта короткая». Затем он предлагает ребенку провести пальцем (ладошкой) вдоль ленты (от одного ее края до другого). При сравнении предметов по высоте воспитатель проводит рукой по предмету снизу вверх – от основания до верхнего края; при сравнении по величине в целом он круговым движением руки обводит сначала один, затем другой предмет.
Детей знакомят со способами сравнения предметов по длине, ширине, высоте – приложением  и наложением.  Начинать надо с приложения, так как сначала для сравнения даются предметы одного цвета, которые при наложении сливаются. Способ наложения следует вводить тогда, когда для сравнения используются предметы разного цвета. Воспитатель показывает детям, как правильно пользоваться этими приемами: сравнивая длину предметов путем приложения, следует класть их рядом так, чтобы их края с одной стороны совпадали. Пользуясь приемом наложения, нужно совмещать все края предметов, кроме одного. Воспитатель объясняет: эта лента длинная, так как один ее конец выступает. Он учит детей обозначать выделенный признак словом, называть оба сравниваемых предмета. («Эта лента длинная, а эта – короткая».) Воспитатель создает игровые ситуации, чтобы вызвать интерес к данным упражнениям. Например, мишкам завязывают шарфы, куклам – банты. Один шарф (бант) завязался, а другой – нет. Почему? Приложив один шарф (ленту) к другому, воспитатель показывает, что один из них короче другого (другой). В другой игровой ситуации требуется выяснить, по какому мосту паровоз проехал (по широкому), а по какому не проехал (по узкому); в какие ворота машина въехала, а в какие не смогла въехать и почему. Можно также предлагать детям игровые задания типа «Чьи пальчики длинные (короткие)?», «Чей домик высокий (низкий)?», «Чей шарфик (пояс) широкий (узкий)?» и т. д.
Когда дети познакомятся со способами сравнения предметов разных размеров и научатся выделять соответствующие признаки, проводится дидактическая игра «Поручение». Детей рассаживают полукругом. Поручения дает воспитатель (например, от лица куклы), а малыши показывают или приносят тот предмет, который он назовет, например, высокую елочку, длинный карандаш, широкую ленту (выбор из двух пар предметов).
Во второй младшей группе проводится значительно больше дидактических игр и упражнений, основанных на самостоятельных действиях детей с предметами разных размеров: «Спрячем шарики в ладошках», «Соберем из колец большие и маленькие башенки», «Вылепим столбики», «Попробуем собрать матрешку», «Найдем большой и маленький», «Магазин игрушек» и др. В таких играх и упражнениях зрительно‑тактильное восприятие закрепляется словами, обозначающими величину предметов: большой – маленький, высокий – низкий, длинный – короткий  и т. п.
Научив детей сравнивать предметы контрастных размеров, воспитатель, используя способ приложения, знакомит их с равенством предметов по длине (ширине, высоте) и учит пользоваться выражениями: одинаковые  (равные ) по длине, одинаковые  (равные ) по ширине, одинаковые  (равные ) по высоте.  С этой целью можно использовать парные игры и упражнения, например «Найди ленточку такой же длины (елочку такой же высоты)» и т. п.
Форма 
Во второй младшей группе знакомство детей с формой осуществляется с целью более глубокого познания предметов окружающей действительности и более правильного их восприятия. Детей знакомят с кругом, квадратом и треугольником, учат различать их. Сначала воспитатель дает каждому ребенку две фигуры, например, красный круг и зеленый квадрат (у педагога – такие же фигуры), демонстрирует одну из них, не называя ее, и предлагает ребенку найти у себя и показать такую же. Затем показывает другую фигуру и предлагает найти у себя такую же и показать.
Существенное значение в методике ознакомления с геометрическими фигурами имеет обучение приемам их обследования осязательно‑двигательным путем. Воспитатель показывает, как это надо делать: он неоднократно обводит контур фигуры указательным пальцем, привлекая детей к совместному действию (ребенок проводит рукой по контуру то одной, то другой фигуры). При этом воспитатель называет каждую фигуру. На следующем занятии дети следят за движением руки педагога, описывающей контур каждой фигуры, а затем вслед за ним обводят пальцем контуры своих фигур и называют их. Для таких упражнений можно использовать и карточки, на которых изображены два‑три круга (квадрата, треугольника).
При ознакомлении детей с квадратом воспитатель многократно обводит его контур пальцем, фиксируя внимание на углах: «Пальчик добежал до угла, остановился, обвел угол и побежал дальше. Еще раз добежал до угла, обвел уголок и опять побежал дальше». Воспитатель называет фигуру (квадрат), спрашивает, какого она цвета. Неоднократно упражняя детей в различении и назывании круга и квадрата, он побуждает их активно действовать с фигурами (взять в руку, положить друг на друга, выложить рядом и т. п.). Это помогает детям лучше запоминать и различать геометрические фигуры.
На следующих занятиях воспитатель раздает детям круги и квадраты сначала меньшего, чем у него, размера, но того же цвета, а затем отличающиеся от образца и по размеру, и по цвету.
Подобным образом сравниваются круг и треугольник, треугольник и квадрат, круг, квадрат и треугольник одновременно.
Организуя сравнение круга, квадрата и треугольника, детей подводят к пониманию того, что круг не имеет углов, а квадрат и треугольник имеют.
Для развития представлений о круге, квадрате и треугольнике используются такие задания, как: «Назови, что это», «Возьми круг (квадрат) в левую (правую) руку», «Покажи мишке красный (зеленый) круг», «Выбери все большие (маленькие) квадраты», «Положи все круги на верхнюю (нижнюю) полоску» и т. п., а также игры: «Найди пару», «Узнай, что спрятано в мешочке», «Найди свой домик», «Прокатывание шариков в воротца», «Что ты достал?», «Найди, что попрошу», «У кого есть такой же (круг, квадрат, треугольник)?», «Чей домик?» и др.
На упражнения с геометрическими фигурами отводится лишь часть занятия. Остальное время можно посвятить заданиям на нахождение множества предметов и одного предмета или сравнение групп предметов (круги и квадраты используются в качестве демонстрационного и раздаточного материала).
Ориентировка в пространстве 
Детей знакомят с пространственными направлениями от себя: вверху – внизу, впереди  (спереди ) – позади  (сзади ), справа – слева. 
Основой обучения является формирование умения различать части своего тела. Этому детей учат в повседневной жизни. Так, в процессе умывания, одевания воспитатель, называя части тела, учит малышей различать правую и левую руку, во время обеда – держать ложку в правой руке, а хлеб в левой; предлагает показать, где правое (левое) ухо; объясняет, что левые нога, глаз, ухо расположены с той стороны, где левая рука, а правые глаз, нога, ухо – с той стороны, где правая рука.
На занятиях эти знания уточняются в дидактических играх: «Купание куклы», «Укладывание куклы спать», «Одевание куклы». Так, воспитатель предлагает ребенку помыть кукле голову, лицо (спину, ноги), а затем показать и назвать, где у него самого лицо, голова, ноги и т. д. Детей упражняют в соотнесении пространственных направлений с определенными частями собственного тела (вверху – там, где голова; внизу – где ноги; спереди – лицо, глаза; сзади – спина; слева – левая рука; справа – правая ).
Опираясь на эти представления, воспитатель помогает детям овладеть умением определять пространственные направления от себя: впереди – сзади, вверх – вниз, справа – слева. Знания и умения детей закрепляются в упражнениях и играх, например, воспитатель предлагает помахать мишке сначала правой, а потом левой рукой; топнуть правой ножкой, а затем левой; указать и сказать, куда пошла кукла (вверх, вниз по лесенке, направо, налево); куда едет машина (вперед, назад); куда летит шар (вверх, вниз); поднять флажки вверх, потом опустить вниз; вытянуть руки вперед (перед собой), спрятать их назад (за спину) и т. п. Во время таких упражнений и дидактических игр воспитатель (или замещающие его игрушки: куклы, мишки и т. д.) показывает действия в зеркальном отображении или сидит (стоит), повернувшись лицом в одну сторону с детьми.
Воспитатель учит детей выделять разное положение предметов в пространстве, проводит игры: «Где шарик (кукла, погремушка)?», «Что изменилось?» и др. Кроме того, полезно проводить игры на определение источника и места нахождения звука: «Что и где слышно?», «Узнай, в какой стороне играет рожок», «Где бьет барабан?» и т. п.
Ориентировка во времени 
Формировать временные понятия следует в повседневной жизни. Строго установленное время подъема, утренней гимнастики, игр, занятий, питания, сна является отличным условием для такой работы. В течение дня воспитатель неоднократно обращает внимание детей на связь различных временных отрезков с характером их деятельности. Он называет часть суток и перечисляет соответствующие ей виды деятельности: «Сейчас утро. Вы сделали гимнастику, умылись и теперь будете завтракать». Или: «Сейчас день. Днем папы и мамы работают, а мы будем заниматься». Беседуя с одним ребенком или с небольшой группой детей, воспитатель предлагает рассказать, что они делали ночью, утром (когда встали), днем и т. п.
На занятиях закрепляются представления о частях суток. Воспитатель показывает детям картинки (фотографии) с изображением разного времени суток и различных видов деятельности, характерных для каждого временного отрезка, и спрашивает: «Что делают дети? Когда они это делают? А ты когда играешь (гуляешь, спишь)?». Малышам можно предложить найти картинку, на которой изображены день, ночь, утро, вечер. Можно использовать также чтение отрывков из рассказов, стихотворений, в которых описываются характерные для разных частей суток практические действия людей.

ПРИМЕРЫ ЗАНЯТИЙ 

Занятие 1 
Цель.  Учить детей сравнивать предметы разной величины (большие – маленькие ), устанавливать равенство двух групп предметов, используя приемы наложения и приложения.
Ход занятия 
Часть 1. Совместная работа.  Покажите детям кукол контрастных размеров. Рассмотрите их вместе с детьми, поставьте кукол рядом (приложите одну к другой). Предложите выбрать большую (маленькую) куклу. Расскажите детям, что куклы «пришли в гости», для них приготовлены стульчики. Сравните стульчики по величине, затем предложите детям подумать, на какой стульчик нужно посадить большую куклу, на какой – маленькую.
Работа с раздаточным материалом.  Для самостоятельных действий детей используйте кубики разной величины (у каждого ребенка на столе большой и маленький кубики разного цвета). Поиграйте с кубиками, сравните их по цвету, размеру, выберите большой (маленький) кубик, попросите детей поставить маленький кубик на большой, затем показать большой кукле большой кубик, маленькой – маленький и наоборот. Предложите детям принести кубики: сначала – только большие, затем – только маленькие; отметить, сколько больших (например, красных) и сколько маленьких (синих) кубиков. (Много больших кубиков и много маленьких. )
Часть 2. Самостоятельная работа.  Раздайте детям карточки, разделенные горизонтальной линией на две части (в нижней части карточки нарисованы цветы), и изображения бабочек (раздаются на индивидуальных подносах; их количество соответствует количеству цветов). Предложите детям разложить бабочек точно над цветами («бабочки прилетели к цветам»), затем рассказать, что они сделали, сколько у них цветов (много ) и сколько бабочек летает над цветами (много ): «Над каждым цветком летает одна бабочка». Выясните, могут ли дети пользоваться выражением: «Бабочек столько же, сколько цветов». Правильность ответов проверьте способом наложения: предложите детям «посадить» на каждый цветок бабочку.
По окончании занятия можно поиграть с детьми в бабочек, порхающих над цветами.

Занятие 2 
Цель.  Продолжать учить сравнивать два предмета разной величины (в целом), обозначать результаты сравнения, используя речевую конструкцию: «Этот большой, а этот маленький». Развивать понимание отношений один – много, столько – сколько. 
Ход занятия 
Часть 1. Совместная работа.  Предложите детям рассмотреть и сравнить два мяча разной величины и цвета, приблизив их друг к другу; назвать, какой мяч большой, какой маленький, «подарить» большому мишке большой мяч, а маленькому – маленький.
Самостоятельная работа.  В качестве раздаточного материала используйте шарики (или другие предметы) разных размеров (раздаются каждому ребенку на подносе или в коробке). Предложите каждому ребенку сравнить свои шарики, приложив один к другому, выбрать большой (маленький) шарик, назвать размер каждого шара, спрятать в ладошках сначала один, затем другой, ответить на вопросы: «Какой шарик спрятался в ладошках?», «Какой не спрятался (не поместился в ладошке и почему)?».
Часть 2. Работа по подгруппам.  Раздайте каждому мальчику по машине. Спросите у девочек: «Всем ли мальчикам хватило машин?
Сколько мальчиков? (Много. ) Сколько машин? (Много. ) Сколько машин у Пети (у Вовы, у Юры и т. д.)?». (Одна. ) Стимулируйте разные ответы: «Машин столько же, сколько мальчиков», «Мальчиков столько же, сколько машин». Организуйте аналогичные упражнения, раздав девочкам кукол.
Разделите группу детей на две равные подгруппы. Одной подгруппе раздайте матрешек, а другой – пирамидки. Предложите детям первой подгруппы построить матрешек друг за другом, а второй – «дать» каждой матрешке пирамидку (рядом с каждой матрешкой поставить пирамидку). При необходимости помогите детям. Вместе с ними установите, что матрешек и пирамидок равное количество (одинаково, поровну, столько – сколько).
В конце занятия «проводите матрешек домой» (вместе с детьми уберите матрешек и пирамидки в шкаф).

Занятие 3 
Цель.  Развивать умение детей соотносить предметы разных размеров (величины в целом); сравнивать количество предметов двух групп (много – мало, больше – меньше ), ориентироваться в пространственном положении предметов от себя (вверху – внизу, над – под ), употреблять слова, обозначающие пространственное положение предметов.
Ход занятия 
Часть 1. Совместная работа.  Рассмотрите с детьми две матрешки (или какие‑либо другие игрушки) контрастных размеров. Установите путем сближения (приложения), какая из них большая, какая маленькая. Предложите детям «угостить» матрешек, «покормить» из тарелочек, «погулять» с ними, спрятать их от дождя в домики (при этом необходимо соотнести величину тарелочек и домиков с величиной матрешек).
Самостоятельная работа.  Попросите детей поставить своих матрешек (большую и маленькую) рядом, показать и назвать маленькую, затем большую матрешку, спрятать маленькую в большую, отметить, в какой матрешке спряталась маленькая и почему.
Часть 2. Самостоятельная работа.  Раздайте каждому ребенку карточку с изображенными на ней в два ряда (один под другим) предметами. Количество рисунков в верхнем ряду карточки больше (или меньше) на один, чем в нижнем.
Предложите детям рассмотреть изображенное на карточке и сравнить количество, например, зайчиков и морковок (или цыплят и жуков). Попросите рассказать, кого (чего) больше (меньше), где расположены зайчики (морковки), что находится вверху («над»), что внизу («под»). При необходимости помогите детям.
В конце занятия разыграйте с детьми сценку: «Зайки пляшут на полянке».

Средняя группа
(от четырех до пяти лет)

К пятому году жизни в результате целенаправленного воспитания, обучения и обогащения детского опыта у ребенка накапливается определенный запас конкретных представлений о количестве, величине и форме предметов окружающего мира. Ребенок способен выслушать объяснение, выполнить более сложное поручение, решить более сложную умственную задачу. Создаются предпосылки для систематизации некоторых математических представлений.
В средней группе дети могут заниматься в составе бо́льших подгрупп и всей группой. Занятия по математике проводятся с начала сентября один раз в неделю (34–36 занятий в год). Длительность занятия не превышает 20 минут. В процессе обучения, как и в младших группах, широко используются дидактические игры.
На занятиях и в повседневной жизни воспитатель помогает детям лучше осознать смысл количественных и пространственных отношений: больше – меньше, поровну; длиннее – короче, шире – уже, выше – ниже, толще – тоньше; впереди – сзади, вверху – внизу, на, над – под, справа – слева, далеко – близко; вчера – сегодня – завтра;  развивает представление о геометрических фигурах: круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике, шаре, кубе, цилиндре;  стремится ставить перед детьми познавательные задачи: «Сколько детей сидит за столом? Сколько им нужно чашек, тарелок, ложек, салфеток?» или «Чего больше (меньше)?», «Каких предметов больше (меньше)?», «Где больше (меньше)?», «Сколько предметов не хватает?», «Сделай, чтобы стало поровну» и т. д. Воспитатель предлагает ответить на вопросы проблемного характера, например: «Через какие ворота прошла (не прошла) машина? Почему? Чей домик (стол, стул) выше (ниже) и почему? Хватит ли куклам стульев, белочкам орехов, детям флажков?» и др.
Организуя работу по развитию у детей представлений о размере предметов, воспитатель предлагает им анализировать и сравнивать их величину, побуждает внимательно рассматривать картинки, отвечать на вопросы, например: «Почему зайка благополучно перебрался на другой берег речки, а мишутка упал в воду? Кто из них шел по узкой (широкой) доске?» или: «Какие грибы нашли белочка и ежик в лесу?» (Ежик – большой (высокий, на толстой ножке), а белочка – маленький (низкий, на тонкой ножке) и т. п.)
В ходе выполнения игровых заданий воспитатель побуждает каждого ребенка подробно пояснять свои действия, рассказывать о том, что и как он делал, что получилось в результате.
В формировании математических представлений у детей средней группы большое значение имеют эмоциональный настрой и заинтересованность детей, поэтому на занятиях следует использовать красочные наглядные пособия и дидактические материалы, а в повседневной жизни – хорошо знакомые предметы, назначение которых понятно детям. На первых занятиях раздаточный материал дается каждому ребенку индивидуально, а позднее 2–4 детям – на общем подносе. Дети учатся совместно пользоваться пособиями, брать счетный материал с общего подноса, спокойно обмениваться им в процессе работы. Такое общение способствует развитию первых навыков сотрудничества, коммуникативной деятельности, умения делиться материалами, договариваться в ходе работы.

Таблица 2 

Примерное распределение программного материала на год 

1 Порядок изучения тем регламентируется методикой и воспитателем.
2 Для указанного количества занятий данное программное содержание является основным и может закрепляться во второй части других занятий по математике параллельно с главной темой.

Количество и счет 
Обучение на занятиях целесообразно начинать с формирования представлений о множестве как едином целом. Специфика работы заключается в том, чтобы показать детям, что множество («много») может быть составлено не только из однородных предметов, но и из частей, предметы в которых обладают как общим для всей группы признаком, так и характерным только для конкретной ее части (много кукол (машин), но среди них есть куклы в красных платьях (красного цвета) и куклы в синих платьях (синего цвета) или: одни машины большие (грузовые), а другие маленькие (легковые)).
Идея разделения множества на составные части доступна даже детям среднего дошкольного возраста: у них много игрушек, однако это много  разное по своему составу: среди игрушек много кукол, солдатиков, машин, мячей и др. Задача воспитателя состоит в том, чтобы научить детей видеть признаки, общие для всех предметов группы, и признаки, характерные лишь для определенной части предметов этой же группы. Например, воспитатель рассматривает с детьми множество грибов (дидактический материал заготавливается по числу детей), которые белочка принесла из леса. Выясняется, что среди грибов есть большие и маленькие. Дети раскладывают грибы (большие и маленькие) на разные подносы, сравнивают их количество поштучно (без счета), располагая их парами – против каждого большого ставят маленький, и убеждаются в том, что одних грибов больше, других меньше (или их равное количество). В заключение воспитатель подводит детей к выводу: грибов много, среди них есть большие (например, их меньше), а есть маленькие (их больше), значит, части  этого много  неравны.
Подобные упражнения на выделение двух‑трех частей из целого множества целесообразно проводить с различными группами предметов. Например, можно рассмотреть, из каких частей составлено множество (группа) предметов посуды (чашки, блюдца, ложки), мебели (стулья, столы); выяснить, сколько мальчиков и девочек в группе (много мальчиков и много девочек), кого больше (меньше) или их поровну.
Упражнения на выделение составных частей множества и установление взаимосвязи частей с целым важны как для общего умственного, так и математического развития ребенка. Они создают прочную сенсорную основу для перехода к обучению счетной деятельности.
Основная задача обучения математике в группе четырехлеток – научить детей считать предметы (звуки, движения) в пределах 5, пользуясь правильными приемами. На первых занятиях воспитатель считает сам, показывая образец счета, а дети лишь называют общее количество сосчитанных им предметов, то есть процесс счета воспитатель берет на себя, а его итог фиксируют (называют) дети.
Обучение счету строится на основе сравнения двух групп предметов, расположенных параллельно в два ряда – друг под другом. Сравниваемые группы должны отличаться только одним элементом, то есть отражать числа: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5. Это создает наглядную основу для усвоения принципа образования каждого последующего (предыдущего) числа натурального ряда, помогает понять, почему одна группа предметов именуется одним числом, а другая – другим.
Например, воспитатель на нижней ступеньке счетной лестницы (строке, полосе наборного полотна) размещает один предмет (одну елочку или ее изображение), а на верхней точно над елочкой – белочку и предлагает назвать количество белочек и елочек. Подводится итог: белочка одна и елочка тоже одна. Затем воспитатель на верхнюю ступеньку лесенки ставит еще одну белочку и предлагает определить, чего (кого) стало больше (меньше). Он пересчитывает предметы, акцентируя внимание детей на итоговом числе (две белочки). Далее предлагает детям подумать, какое действие надо выполнить, чтобы елочек стало столько же, сколько белочек, то есть две. При участии детей на нижнюю ступеньку лесенки добавляется еще одна елочка. Воспитатель сам пересчитывает елочки, затем белочек, демонстрируя количественные отношения: «Елочек и белочек стало поровну – по две ».
Затем на верхнюю ступеньку воспитатель ставит еще одну белочку и выясняет: «Белочек стало больше или меньше?» (Больше. ) Дети отчетливо видят, что больше.  «У белочки нет пары, она без елочки. Белок больше,  а елок меньше.  Елочек две, а сколько же белочек? Нужно посчитать». Воспитатель считает: «Один, два…». Затем произносит новое слово – числительное три.  («Всего три белочки».) Он жестом показывает, что числительное три  относится ко всем пересчитанным белочкам, и повторяет: «Всего три белочки». Предлагает повторить, сколько белочек. Обращает внимание детей на то, какое из чисел больше, какое меньше: «Три больше, чем два, два меньше, чем три. Три больше, а два меньше». Дети наглядно убеждаются в том, что, если предметов в группах поровну, их количество обозначается одним и тем же числом (две белочки и две елочки), если добавляется (убирается) один предмет – их становится больше (меньше), и группа обозначается новым числом. Они начинают понимать, что каждое число обозначает определенное количество предметов, что счет приводит к точному обозначению их количества.
Важно, чтобы ребенок увидел не только то, как можно получить большее число (из 1–2; из 2–3 и т. д.), но и то, как можно получить меньшее число из большего, отнимая один предмет (1 из 2; 2 из 3; 3 из 4). Поэтому при образовании каждого нового числа воспитатель должен показать детям два способа получения равенства из неравенства. 
Так, в примере с белочками и елочками он добавляет еще одну елочку, и предметов становится поровну: 3 и 3 (по 3). Затем воспитатель восстанавливает прежнюю картину (3 белочки и 2 елочки) и демонстрирует другой способ образования равенства из неравенства: убирает одну белочку, и предметов опять становится поровну: 2 и 2 (по 2).
Образование каждого нового числа необходимо показать на примере сравнения трех‑четырех групп различных предметов. Например, воспитатель убирает елочки и вместо них ставит сначала двух, а потом трех зайчиков и, действуя описанным образом, сравнивает число зайчиков и белочек. Затем он убирает белочек и вместо них кладет морковки. Вместе с детьми сравнивает число зайчиков и морковок. Каждый раз дети выясняют, в какой группе предметов больше, в какой меньше, считают их, восстанавливают равенство (двумя способами).
Постепенно дети начинают понимать: считать нужно для того, чтобы узнать, сколько всего предметов в группе; начинают различать процесс счета и его результат.
Воспитатель многократно показывает и разъясняет приемы счета, формирует умение вести счет предметов правой рукой слева направо, в процессе счета учит указывать предметы по порядку, дотрагиваясь до них рукой, соотносить слово‑числительное с каждым предметом, а последнее числительное – со всей группой пересчитанных предметов, подводя итог счета, использовать обобщающий жест, обводя всю группу предметов рукой.
В процессе обучения счету необходимо научить детей видеть равенство количеств при разных условиях: когда расстояние между предметами в группах различно, когда предметы различны по величине, когда различна форма расположения предметов. Например, в одной группе предметы расположены в ряд на большом расстоянии друг от друга, а в другой они находятся близко друг к другу и занимают меньше места, хотя количество их в обоих случаях одинаковое. Сосчитав предметы в обеих группах, дети убеждаются в этом. Таким же образом рассматривается равенство групп больших и маленьких предметов; равенство предметов, расположенных в ряд или в форме каких‑либо геометрических фигур (например, круга, квадрата или треугольника). Для проверки равенства детям можно предложить разместить предметы одной группы напротив предметов другой (парами), пересчитать их и сравнить полученные числа.
Следует также провести упражнения на сравнение неравенств, показав детям, что предметов может быть больше, хотя они маленького размера или занимают меньше места. Такие упражнения способствуют формированию понимания того, что число предметов не зависит от их размера и расположения.
После того как дети овладеют умением считать предметы, нужно научить их отсчитывать предметы, показав способ отсчета. Воспитатель размещает на столе много одинаковых игрушек и говорит, что надо из общего количества отсчитать три. Взяв одну игрушку из группы, воспитатель ставит ее на другой край стола и говорит: «Одна». Затем молча берет другую игрушку и, поставив ее рядом с первой, говорит: «Две». И так далее. Числительное воспитатель произносит только тогда, когда игрушка уже поставлена к группе отсчитанных. Затем детям раздают наборы мелких игрушек и предлагают из множества отсчитать определенное количество игрушек (2–3). Воспитатель приучает детей отсчитывать предметы не торопясь, придвигая их к себе по одному, соотнося с каждым отобранным предметом соответствующее числительное, называя общее число отсчитанных предметов. В дальнейшем целесообразно проводить упражнения типа «Отсчитай столько, сколько кукол сидит за столом», «Отсчитай и принеси четырех зайчиков», «Принеси трех зайчиков и четыре морковки» и др.
Полезно проводить также упражнения, которые позволяют одновременно закреплять не только счет предметов, но и представления о форме, размере, а также способствуют развитию ориентировки в пространстве. Например, можно считать предметы и сравнивать их размер (или форму), определять пространственное расположение (слева, справа, вверху, внизу).
Наряду со счетом предметов при участии зрительного анализатора нужно упражнять детей в счете на слух, на ощупь, а также в счете движений. Например, воспитатель предлагает детям посчитать, сколько раз он ударит в бубен, по барабану, столу и т. п., сколько сделает шагов; или предлагает выполнить столько движений, сколько предметов нарисовано на карточке; хлопнуть в ладоши столько раз, сколько раз ударит молоточек. Затем следует учить детей выполнять движения по названному числу: «Присядь четыре раза», «Подбросьте мяч вверх три раза» и т. п. Счет при участии различных анализаторов помогает углубить понимание значения итогового числа.
Величина 
Во второй младшей группе детей учили выделять какой‑либо один признак величины предметов (длину, ширину или высоту). В средней группе воспитатель помогает детям овладеть умением находить в предмете длину и ширину одновременно, учит сопоставлять их. Например, он раздает детям по две ленты разного цвета, разной длины, но одинаковой ширины и дает задание знакомым способом (например, приложением) определить, какая из лент длиннее, а какая короче. Далее предлагает выбрать длинную полоску и провести пальцем по всей ее длине. Затем спрашивает: «А где у полоски ширина?» – и проводит рукой по ширине полоски. Нужно спросить у детей, что больше у полоски – длина или ширина, и объяснить: длина больше, а ширина меньше.
К аналогичному выводу (у полоски длина больше, чем ширина) воспитатель подводит детей и при рассматривании более короткой полоски. В конце занятия можно предложить детям сравнить разноцветные полоски по ширине. Наложив их друг на друга, дети убедятся, что они равны по ширине, хотя одна длиннее, а другая короче. Затем можно всем поиграть с разноцветными полосками в «ветерок», «в салют».
В средней группе важно показать практический смысл сравнения предметов по размеру Для этого можно использовать разнообразные игровые ситуации, например, подобрать куклам платья, обувь, кроватки, коврики, одеяла соответствующих размеров (длины, ширины), «проложить» длинные и короткие, широкие и узкие дорожки и прокатить по широким дорожкам большие машины, по узким – маленькие и т. д.
Детей нужно учить улавливать незначительные различия между предметами по длине, ширине, высоте, а также сравнивать между собой не только два, но и большее количество предметов различной длины (ширины, высоты). Например, детям предлагают сравнить две ленты разной длины, а затем к ним добавляют третью, более длинную ленту, чем две сравниваемые ранее. Дети видят: длинная лента становится короче в сравнении с еще более длинной. Каждая лента попарно сравнивается с двумя другими. Выясняется, например, что красная лента длиннее синей, но короче желтой. В результате постепенно у детей формируется представление о том, что размер предметов имеет относительный характер: один и тот же предмет может называться то бо́льшим, то меньшим в зависимости от того, с каким другим предметом он сравнивается.
С целью развития умения выявлять закономерность в размерных отношениях предметов детей учат строить сериационные ряды, то есть раскладывать 3–5 предметов в ряд в порядке возрастания (или убывания) их длины (ширины, высоты или величины в целом), ориентируясь на образец. В дальнейшем дети овладевают умением самостоятельно упорядочивать предметы, действуя по такому правилу: чтобы разложить предметы по порядку, начиная с самого длинного (высокого, широкого, толстого, большого), нужно каждый раз выбирать самый длинный (высокий, широкий, толстый, большой) предмет из оставшихся. Вначале дети выполняют задание путем прикладывания предметов друг к другу, а затем определяют размер на глаз. Воспитатель объясняет и показывает, что предметы разной длины нужно раскладывать друг над другом, подравнивая их края слева (или справа), а у предметов разной ширины на одном уровне должны быть верхние или нижние края. При сравнении высоты предметы устанавливают на одно основание.
Для уточнения представлений о размерах предметов воспитатель может предложить детям расставить матрешек по росту, построить лесенку, разложить палочки; выполнить с дошкольниками упражнения на построение, провести дидактические игры: «Что нужно мишкам?», «Какой кукле что нужно?», «Оденем кукол на прогулку», «Уложим кукол спать», «Напоим кукол чаем», «Куклы в гостях», «Что там в матрешке?», «Подберем другую половинку» и др.
Форма 
Сначала воспитатель уточняет представления детей о круге, квадрате и треугольнике, полученные во второй младшей группе. Он продолжает учить не только различать их, но и правильно называть.
Эту работу целесообразно проводить одновременно с упражнениями на сравнение групп по количественному признаку и обучением счету (отсчету) предметов. Детям предлагают такие задания и вопросы, как: «Узнай, сколько здесь квадратов», «Чего больше: квадратов или кругов?», «Назови лишнюю фигуру» и т. п.
В программе средней группы предусмотрено ознакомление детей с прямоугольником. Полезно научить детей узнавать, называть и отличать его от круга, квадрата, треугольника. Для этого применяются приемы, аналогичные тем, что использовались ранее: осязательно‑двигательное обследование фигуры, разнообразные практические действия с ней.
Ознакомление с прямоугольником проводится на основе сопоставления его с уже знакомыми фигурами. Сначала фигуры сравниваются попарно, например, прямоугольник и квадрат. Дети убеждаются: прямоугольник длиннее квадрата. Затем воспитатель многократно вместе с детьми обводит контур прямоугольника пальцем, фиксируя внимание на углах, предлагает спрятать его между ладонями. Он называет прямоугольник, спрашивает, какого он цвета, какого цвета квадрат, привлекает внимание детей к количеству углов у прямоугольника (четыре), предлагает сосчитать их. Затем пересчитываются углы у квадрата. Дети убеждаются, что у квадрата тоже четыре угла. Далее воспитатель предлагает детям показать сначала прямоугольники, а затем квадраты. (Более детальное сравнение прямоугольника с квадратом проводится в старшей группе.)
На других занятиях подобным образом прямоугольник сравнивают с треугольником и кругом одновременно. Воспитатель обращает внимание детей на то, что треугольники, круги, квадраты и прямоугольники могут быть как большого, так и маленького размера; предлагает сравнить большие и малые фигуры разного цвета приемом наложения; на конкретных примерах показывает детям, что фигуры, одинаковые по форме, могут быть разного цвета и размера.
В целях закрепления представлений о форме целесообразно проводить дидактические игры: «Что у вас?», «Найди такую же фигуру, но другого цвета», «Подбери нужную фигуру», «Найди лишнюю фигуру», «Назови, что спрятано», «Предмет и форма», «Разложи по форме», «Домино фигур», «Цветочный магазин» (подбор растений по форме цветов и листьев), «Выкладывание узора»; игровые упражнения: «Подбери крышу к домику», «Выложи фигуру из палочек», «Подбери колеса к автомобилю», «Сложи елочку из треугольников (паровоз из квадратов и кругов)». Кроме этого, воспитатель широко использует упражнения на группировку и классификацию фигур: «Отбери все круги», «Отбери все фигуры красного цвета и назови их», «Выбери большие квадраты (прямоугольники, треугольники) и сосчитай их».
Ознакомление с шаром, кубом и цилиндром проводится постепенно в ходе игр со строительным материалом, на занятиях и в повседневной жизни. В строительных играх воспитатель многократно называет указанные объемные фигуры, предлагает использовать шар, куб или цилиндр для сооружения различных построек. Дети постепенно привыкают к названиям этих фигур.
Наряду с этим 1–2 занятия целесообразно посвятить ознакомлению с некоторыми свойствами шара, куба и цилиндра (устойчивостью или подвижностью, наличием или отсутствием у них углов). Воспитатель обращает внимание детей на то, что шар и цилиндр катятся, а куб нет, выясняет, почему это происходит: предлагает ощупать фигуры, провести ладонью по их поверхности. Дети убеждаются: у куба много углов, а у шара их нет. Далее попарно сравниваются шар и цилиндр. Воспитатель предлагает назвать, какая фигура катится – подвижная, а какая не катится – устойчивая. С помощью различных игровых действий с указанными телами (перекладывание, прокатывание, обследование поверхности) помогает установить, что цилиндр может стоять и может катиться, шар установить трудно, а вот катится он легко. Воспитатель стимулирует детей к поиску ответов на поставленные вопросы, развивает их способность к исследовательским действиям («Покажи углы у шара», «Поставь куб на шар. Почему не получилось?» и т. п.).
В дальнейшем воспитатель организует разнообразные упражнения (проводятся как часть занятий) с целью установления признаков сходства и различия между кругом и шаром, квадратом и цилиндром, квадратом и кубом, учит группировать эти фигуры по форме, цвету, размеру, упражняет в счете.
В средней группе воспитатель также учит узнавать и обозначать словом форму знакомых предметов, то есть называть, какие предметы похожи на круг (тарелка, блюдце); прямоугольник (крышка стола, дверь, окно); шар (мяч, арбуз); цилиндр (стакан, банка); треугольник (косынка) (проводит игровое упражнение «Что на что похоже?»).
Ориентировка в пространстве 
У детей пятого года жизни продолжают развивать умение ориентироваться в пространстве. Упражнения носят игровой характер («Узнай, где что спрятано», «Что изменилось?»). Вначале дают задание определить расположение одной‑двух игрушек, находящихся в противоположных от ребенка направлениях: впереди – сзади, вверху – внизу, справа – слева.  Постепенно количество игрушек увеличивают до четырех. Сначала игрушки лучше располагать на небольшом от детей расстоянии (рядом ). В дальнейшем его нужно постепенно увеличивать. По заданию воспитателя ребенок встает в определенном месте комнаты и говорит, какие предметы находятся перед ним, позади него, слева, справа от него.  Затем воспитатель предлагает ребенку повернуться и сказать, какие теперь предметы находятся впереди или сзади от него, справа (слева), то есть по правую (левую) руку.
Для формирования умения передвигаться в заданном направлении можно использовать дидактические игры «Путешествие», «Куда пойдешь, то и найдешь», «Дойди до флажка», «Найди игрушку по описанию», «Где кто (что) находится?», «Где собачка?» и др. Выполняя игровые задания, дети упражняются в различении и обозначении основных пространственных направлений. Например, воспитатель прячет игрушки в разных местах комнаты (за картину, под ковер, на шкаф и т. д.). Перед началом игры он говорит, что дети будут отыскивать спрятанное. Затем приглашает их по очереди к себе, называет игрушку и направление, в котором следует ее искать. Прежде чем приступить к поиску, ребенок повторяет задание: какую игрушку надо найти и в каком направлении она спрятана.
Игровые упражнения на развитие ориентировки в пространстве – отыскивание различных предметов и игрушек – целесообразно проводить не только в группе, но и на участке детского сада, сочетая их с формированием у детей таких понятий, как далеко – близко. 
Ориентировка во времени 
Воспитатель закрепляет в активном словаре детей названия частей суток, углубляет и расширяет представления об этих отрезках времени, обращает внимание на последовательность их смены. Дети наблюдают, что утро всегда настает после ночи и сменяется днем, день – вечером, а вечер – ночью. Таким образом, ориентироваться во времени дети учатся в повседневной жизни.
Для развития представлений о закономерной смене частей суток целесообразно также рассматривать иллюстрации, картинки с изображением деятельности людей в разное время суток, составлять по ним короткие рассказы, акцентируя внимание на времени суток. Можно также дать задание разложить картинки в правильной последовательности и назвать части суток по порядку. На основе этих упражнений в старшей группе у детей формируются обобщенные представления о сутках, они начинают понимать значение слова сутки. 
Дети учатся различать понятия вчера, сегодня, завтра  в результате постоянного употребления воспитателем соответствующих понятий. Например, прежде чем показать детям новую игрушку, воспитатель предупреждает: «Сегодня  вы будете играть с новой игрушкой». Предлагает вспомнить, чем они занимались вчера , что делали сегодня утром , когда был (будет) праздник (вчера, завтра ) и т. д.; объясняет, чем они занимались (или будут заниматься) сегодня (завтра) днем: «Сегодня  мы с вами лепили, а завтра  будем рисовать», «Вчера  мы гуляли на участке детского сада, а сегодня  пойдем в лес (парк)». Так в повседневном общении с педагогом дети постепенно усваивают эти временные понятия.

ПРИМЕРЫ ЗАНЯТИЙ 

Занятие 1 
Цель.  Учить детей воспринимать множество как единое целое, выделять составные части множества и сравнивать их, определяя равенство или неравенство; сравнивать предметы неконтрастных по длине размеров, различать и называть знакомые геометрические фигуры.
Ход занятия 
Часть 1. Совместная работа.  Проведите с детьми дидактическую игру «В магазине игрушек». Рассмотрите с ними группу игрушек, составленную из разных подгрупп. Обратите внимание на общий, наиболее существенный для всех предметов группы признак (это – игрушки), на их количество (игрушек – много) и признаки, которыми обладают лишь определенные части предметов группы. (Среди игрушек есть куклы и есть машины; кукол – много и машин – тоже много. Или: это куклы, их много; одни куклы – в красных платьях, а другие – в синих. Это машины: среди них есть грузовые и легковые; грузовых машин – много и легковых – тоже много.) Предложите детям узнать, каких игрушек (то есть какая часть игрушек) больше (меньше, поровну). Для этого покажите, как можно поштучно соотнести игрушки разных частей множества, расположив против каждой куклы машину или посадив каждую куклу в машину, поставив кукол в красных и синих платьях парами или расставив легковые и грузовые машины друг против друга. Спросите у детей, каких игрушек (кукол или машин, кукол в красных или в синих платьях, грузовых или легковых машин) больше (меньше) или их в группе равное количество.
Часть 2. Совместная работа.  Предложите детям сравнить длину прицепов у машин (длину вагончиков у поезда) способом приложения. Вагончики или прицепы подберите с таким расчетом, чтобы они незначительно отличались по длине друг от друга. При сравнении длины побуждайте детей использовать в речи выражения: «Этот прицеп длиннее, а этот короче» и т. п.
Попросите детей сравнить два карандаша или две палочки (две дощечки или две дудочки), имеющие незначительную разницу в длине. Выясните, чья дудочка длиннее.
Самостоятельная работа . Предложите детям нарисовать длинные и короткие ленточки или дорожки, а затем разместить одну какую‑нибудь маленькую игрушку на короткой дорожке, много – на длинной (можно использовать изображения игрушек). Учите детей пользоваться разными речевыми конструкциями при сравнении предметов: «Красная ленточка длиннее (короче) синей», «Коричневая дорожка короче, а зеленая длиннее», «По длинной дорожке бежит много цыплят, а по короткой – один цыпленок» и т. д.
Часть 3. Самостоятельная работа.  Предложите детям выбрать среди нескольких фигур (треугольников, квадратов, кругов и прямоугольников) ту, которая соответствует образцу воспитателя, показать и назвать ее (фигуры отличаются от образца цветом и размером). Вариант задания : дидактическая игра «Подарим кукле фартучек» (выбор из двух фартучков с узором из геометрических фигур понравившегося ребенку (каждый узор состоит из трех фигур).

Занятие 2 
Цель.  Развивать умение считать до 4, сравнивать числа и группы, содержащие равное и неравное количество предметов (3–3, 3–4); видеть признаки различия и сходства шара и куба; ориентироваться в окружающем пространстве.
Ход занятия 
Часть 1. Совместная работа.  Предложите детям сосчитать разные группы предметов, например, белочек и орешки (зайчиков и морковки), а затем сравнить их число. В процессе счета повторите с детьми правильные его приемы: называть числительные по порядку, указывая на каждый предмет при счете, последнее числительное относить ко всем перечисленным предметам.
Самостоятельная работа.  Предложите детям разложить 3–4 предмета или их изображения на карточках в два ряда – друг под другом, пересчитать и сравнить их число; затем уравнять неравные группы, добавляя к меньшей группе один (недостающий) предмет или убирая из большей группы один (лишний) предмет. (Задания: «Сделай так, чтобы стало поровну», «Расскажи, как ты это сделал».)
Часть 2. Совместная работа  (упражнение проводится на демонстрационном материале). Рассмотрите с детьми шар и куб, используя осязательно‑двигательный способ их обследования; назовите их особенности (катится – не катится, можно поставить – нельзя, устойчив – не устойчив, можно положить – нельзя, во всех положениях выглядит одинаково – неодинаково), общие признаки (чем похожи: нет углов, круглые, выпуклые), а также отличия от круга и квадрата (плоские – выпуклые, объемные: что можно обхватить руками, спрятать между ладонями, а что нельзя).
Организуйте игровые действия «Надуем шар», «Найдем такую же фигуру», «Достанем фигуру из мешочка и расскажем о ней».
Часть 3. Коллективная игра.  Поиграйте с детьми в подвижную игру «Шоферы». Попросите их двигаться в нужном направлении (вперед – назад, налево – направо), меняя направление по словесному сигналу.
Учитывая сформированность пространственных представлений, предложите детям выполнить игровые задания: «Пойдем, куда укажет стрелка (направо, налево)», «Найдем флажок по указателю (впереди, сзади себя)».

Занятие 3 
Цель.  Учить устанавливать равенство групп предметов разной величины; выделять в предмете признак ширины на основе сравнения его с длиной, понимать смысл отношений далеко – близко,  пользоваться словами, характеризующими пространственные отношения предметов.
Ход занятия 
Часть 1. Совместная работа.  Разместите в два ряда на разных уровнях, но на одинаковом расстоянии друг от друга большие и маленькие круги. Установите вместе с детьми, сколько места занимают большие фигуры и сколько маленькие. Предоставьте детям возможность убедиться, что большие предметы занимают больше места, а маленькие – меньше. Затем пересчитайте с участием детей фигуры и обратите их внимание на то, что количество фигур равное, хотя они занимают разную площадь (место): большие – длинный ряд, а маленькие – короткий. Подведите детей к выводу: предметов может быть поровну, хотя одни большие по размеру, а другие – маленькие.
Самостоятельная работа.  Предложите детям разложить на верхней полоске карточки все маленькие квадраты, а на нижней – все большие (в конвертах у детей содержится равное количество фигур разного размера). Попросите их сосчитать и сравнить число разных квадратов.
Проверьте с детьми правильность результатов сравнения путем точного пространственного соотнесения больших и малых фигур.
Часть 2. Совместная работа.  Обследуйте с детьми длину и ширину предмета (ленты, дощечки, поверхности стола) зрительным и осязательно‑двигательным путем: проведите ладонью (пальцем) сначала по длине, а затем – по ширине предмета. Установите, что длина предмета больше, чем ширина (ширина меньше, чем длина): «По длине пальчик бежит дольше, чем по ширине».
Проведите дидактическую игру «Уложим кукол спать». Сначала рассмотрите с детьми кукольные кроватки и постельные принадлежности: одеяла, простыни, коврики разной длины и ширины, сравните их по длине и ширине, прибегая к помощи детей, а затем предложите подобрать для кукол: соответственно для большой куклы – широкую и длинную кровать (одеяло, простыню, коврик), для маленькой – узкую, короткую кроватку (одеяло, простыню, коврик). Каждый раз побуждайте детей соотносить размеры постельных принадлежностей с размером кроваток.
Часть 3. Совместная работа.  На участке детского сада на конкретных примерах рассмотрите с детьми удаленность друг от друга различных предметов, обозначая расстояние между ними словами далеко – близко : «Мяч упал близко – мяч укатился далеко»; «Дом стоит близко, а березка растет далеко»; «Одну игрушку нашли близко, а другую спрячем далеко». Проведите игровое упражнение «Скажи, что (кто) где находится?».

Старшая группа
(от пяти до шести лет)

На шестом году жизни уровень умственного развития ребенка характеризуется значительным накоплением наглядно‑чувственных представлений и простейших понятий. У ребенка активно развивается наглядно‑образное мышление, произвольное внимание, память, способность управлять своим поведением. Ему свойственно стремление выполнять более обобщенные и сложные по своему содержанию задания и получать за это положительную оценку взрослого.
Под руководством воспитателя дети успешно овладевают количественным и порядковым счетом в пределах десяти, умением сравнивать рядом стоящие числа (определять на конкретном материале большее, меньшее на 1), знакомятся с количественным составом числа из единиц в пределах 5. Детей упражняют в счете, пересчитывании, отсчитывании, воспроизведении нужного количества предметов, игрушек, геометрических фигур и их изображений, а также счете и воспроизведении количества звуков, движений; учат сравнивать совокупности предметов, сопоставляя их элементы один к одному; различать и сравнивать параметры протяженности (длину, ширину, высоту); углубляют понятие единицы, понимание отношений между целым и его частью. Воспитатель продолжает развивать основные пространственные и временные ориентировки.
Обучение проводится с опорой на наглядность, приобретенные ранее знания и опыт решения некоторых математических проблем. Каждое новое представление (понятие) формируется на основе включения его в систему ранее усвоенных.
В старшей группе воспитатель предлагает детям более детально анализировать свойства и отношения предметов, явлений окружающего мира, подмечать не только характерные, но и менее существенные признаки в рассматриваемых фактах. Он учит обобщать эти признаки, выявлять закономерности (числовую, временну́ю и др.); делать простейшие умозаключения, самостоятельно пользоваться известными способами доказательства. Все эти умения формируются посредством игр и игровых упражнений.
В старшей группе проводится одно занятие в неделю (примерно 36 занятий в год) продолжительностью от 20 до 25 минут. Целесообразно организовывать их в первой половине недели, сочетая с физкультурными или музыкальными занятиями.

Таблица 3 

Примерное распределение программного материала на год 

1 Последовательность изучения тем и количество занятий по каждой теме могут варьироваться.
2 Помимо указанного количества занятий данные темы закрепляются также на других занятиях параллельно с изучением задач из других разделов программы по формированию элементарных математических представлений.
3 Если дети старшей группы осмыслили значение числа как показателя мощности множества, их можно познакомить с цифрами как условными обозначениями чисел. Методика ознакомления с цифрами рассматривается в подготовительной к школе группе.

Количество и счет 
В предшествующих возрастных группах, оперируя с различными группами предметов (множествами), дети получили представление о том, что любые конкретные совокупности состоят из отдельных предметов, но в совокупностях можно выделить части, обладающие некоторыми отличительными признаками.
Задача воспитателя в старшей группе состоит в том, чтобы углубить представление детей о множестве: показать, что несколько отдельных групп предметов (частей) может быть объединено в одну совокупность (множество); целое множество (вся группа предметов) больше каждой своей части, а часть меньше целого. При объединении частей множество (группа) увеличивается. Так закладывается конкретная основа для понимания смысла арифметического действия сложения.
Например, воспитатель предъявляет детям 2–3 вида игрушек (куклы, мишки, машины), предлагает объединить их в одну группу, назвать ее (группа игрушек ), определить каждую ее часть (одна часть – куклы, одна часть – мишки, одна часть – машины), сосчитать части и количество игрушек в каждой из них, сравнить выделенные части полученного множества, а затем вновь пересчитать общее количество предметов в образованном множестве.
На других занятиях и в повседневной жизни дети сами создают множества из разных частей (множество предметов посуды, одежды, транспорта, учебных принадлежностей и т. д.), считают количество частей и предметов, входящих в состав каждой части, сравнивают части, определяют, какая из частей по численности больше (меньше) или они равны.
Детей можно познакомить и с операцией удаления части из множества. Это целесообразно сделать на группе предметов, состоящей из трех частей. Например, воспитатель располагает на наборном полотне множество фигур (кругов) красного, желтого и синего цветов. Дети называют каждую часть множества, определяют их общее количество. Затем воспитатель убирает одну из частей множества (например, круги синего цвета) и спрашивает: «Увеличилась или уменьшилась группа?» Дети отмечают, что группа уменьшилась, остались две части – красные и желтые круги. Затем воспитатель удаляет еще одну часть множества – желтые круги. Дети отмечают, что группа снова уменьшилось: осталась только одна ее часть – красные круги. Воспитатель подводит детей к выводу: если из группы предметов удаляется какая‑либо часть, то группа уменьшается.
Упражнения на удаление из множества отдельных его частей являются основой усвоения (на следующем этапе обучения) сущности арифметического действия вычитания. Кроме того, считая части множеств, дети начинают понимать, что слово один  не всегда является показателем одного предмета, оно может служить и показателем (эквивалентом) целой группы предметов или определенной ее части.
Воспитатель направляет внимание детей на соотношение между частью и целым: «Чего больше – всех игрушек или только кукол (только мишек, только машин)?». Такие упражнения готовят ребенка к более осознанному пониманию соотношения между частью предметов и целым множеством предметов.
В старшей группе продолжается обучение детей счету в пределах 10, закрепляется умение употреблять как количественные, так и порядковые числительные. Детей учат понимать вопросы: «Какой?» (о качестве, признаке предмета – зеленый, большой, круглый.), «Сколько?» (об общем количестве предметов), «Который?» (о месте предмета среди других, например, пятый).
Ребенку необходимо дать знания о том, что каждое число включает определенное количество единиц. Представление о составе числа из единиц в пределах 5 формируется на конкретных примерах. Воспитатель помогает ребенку анализировать группы предметов по их различным признакам (качествам), а потом называть единицы, из которых составлено число. Например, поставив на стол четыре кубика разного цвета, воспитатель спрашивает: «Сколько на столе кубиков? Сколько красных (синих, зеленых, желтых) кубиков? (Этот вопрос ориентирует на анализ количества предметов по их цвету.) (Один красный, один синий, один желтый, один зеленый. ) А сколько всего кубиков? (Всего четыре кубика. ) Значит, 4 это – 1, 1, 1 и 1». Затем можно предложить детям еще раз назвать единицы числа, а потом само число (1, 1, 1 и 1 – это 4). (Необходимо помнить: когда воспитатель, а затем и дети говорят о числе, предметы называть не надо.)
В обучении надо использовать знания детей о предметах, умение дифференцировать их (видеть каждый предмет в отдельности) и объединять в группы по общему признаку. Например, воспитатель выставляет пять игрушек: одного зайца, одну лису, одного медведя, одну куклу, одну машину и спрашивает у детей: «Сколько всего игрушек? (Всего пять игрушек. ) Значит, 5 – это 1, 1, 1, 1 и еще 1». Так у ребенка воспитывается умение видеть общее количество и называть его, фиксировать единицы числа (проговаривать каждую единицу, составляющую число), объединять их, называя одним числом.
При изучении состава числа из единиц полезно использовать знание детьми геометрических фигур, отношений предметов по величине и умение называть их сравнительную величину. Например, для анализа состава числа 4 из единиц можно взять геометрические фигуры – треугольник, круг, квадрат, прямоугольник; для анализа состава числа 5 из единиц – полоски бумаги разной длины и разного цвета. Желтая полоска – самая короткая, синяя – чуть длиннее, зеленая – еще длиннее, коричневая – еще длиннее, красная – самая длинная. Всего 5–1, 1, 1, 1 и 1.
Знания детей следует закреплять с помощью различных упражнений. Например, воспитатель показывает числовую фигуру с тремя кружками и предлагает детям расположить разные предметы или разные геометрические фигуры так, чтобы было видно, сколько единиц в числе 3 (три). Затем можно предложить ребенку рассказать, почему он отсчитал три фигуры, сколько каких фигур он отложил (один круг, один треугольник, один квадрат ), сколько единиц составляет число 3. (Три. ) Полезно проводить игровые упражнения с заданиями: «Сколько нужно взять предметов, чтобы получилось число 2 (3, 4, 5)?», «Кто быстрее составит число?», «Составь число из разных овощей (предметов одежды, мебели, посуды, видов транспорта)» и др.
Детей знакомят с порядковым счетом до 10, учат определять порядковое место того или иного предмета, правильно отвечать на вопрос «который (по счету)?», развивают умение пользоваться порядковыми числительными. В 5 лет ребенок часто подменяет порядковые числительные количественными. Поэтому необходимо раскрыть сущность порядкового числа, показать, что количество предметов не всегда совпадает с порядковым номером предмета, порядковый номер (порядковое число) всегда говорит об определенном месте предмета.
Важно до введения порядкового счета показать детям, что при ответе на вопрос «сколько?» можно считать не только слева направо, но и справа налево, с середины, с любого предмета; можно также считать предметы, расположенные не только в ряд, но и в форме круга, квадрата и т. п. Если вести счет правильно (не пропуская предметы, запомнив, с которого начал считать и какие уже посчитал), результат получается всегда один и тот же. Необходимо также показать, что при порядковом счете, когда требуется ответить на вопрос «который?», предметы располагают в ряд и считают обычно слева направо. (Можно считать и справа налево, но при этом нужно обязательно уточнить, в каком направлении велся счет.) Так дети узнают, что для определения порядкового места предмета среди других в ряду направление счета имеет существенное значение.
Сначала воспитатель выкладывает в ряд несколько предметов, например, флажки одинакового (красного) цвета. Предлагает детям сосчитать их и назвать общее число. Затем заменяет один из флажков дополнительным флажком другого цвета (например, синим) и просит определить, который по счету синий флажок. При этом воспитатель показывает детям, как надо правильно считать флажки, чтобы узнать их место в ряду. Он обращает внимание детей на общее количество (число) всех флажков, а также количество красных и количество синих флажков; повторяет упражнение с заменой определенных флажков, акцентирует внимание на особенностях порядкового счета; по порядку произносит порядковые числительные и при этом указывает на каждый флажок, делая паузы: «Первый, второй, третий…»
Воспитатель подчеркивает, что при ответе на вопрос «сколько?» надо называть общее количество всех пересчитанных предметов, а на вопрос «который?» («Который по счету?», «На каком месте?») определять место только одного, нескольких или каждого предмета среди других.
Для закрепления умения понимать и различать вопросы «какой?», «который?» целесообразно использовать упражнения на сравнение предметов по величине и цвету. Например, детям дают задание определить, сколько всего перед ними полосок цветной бумаги; какого цвета первая сверху (или слева) полоска; какого цвета третья (пятая) сверху (или справа) полоска; которая по счету зеленая (синяя) полоска, какая полоска пятая. Можно использовать геометрические фигуры разного или одинакового цвета, но различной величины: круг, треугольник, четырехугольник. («Который по счету большой круг? Какая четвертая фигура? Который по счету большой четырехугольник? Назовите седьмую по счету фигуру. На каком по счету месте треугольник? Как называется шестая фигура?» и т. д.)
Умение понимать вопрос «который?» закрепляется и в упражнениях на уточнение названий дней недели. Например, воспитатель спрашивает, как называется первый день недели, какой второй день, который день недели среда и т. д.
Вопросы следует формулировать по‑разному. Это способствует и сосредоточению внимания, и более осознанному усвоению материала программы.
Эффективными являются игровые приемы с использованием картинок и иллюстраций. Так, например, воспитатель демонстрирует изображения на фланелеграфе и рассказывает: «Пастух пригнал стадо на берег реки. Назовите, какие животные в стаде. Животных надо переправить на другой берег. Мостик узкий, поэтому они идут друг за другом. Внимательно посмотрите: кто идет первый? Кто второй? Кто идет за коровой? Кто идет перед овцой? Кто идет последний? Который по счету идет барашек? Сколько всего животных перешло через мост?».
У детей развивают представление о равенстве: их учат составлять равные группы из предметов разной величины, по‑разному расположенных, определять равенство, употребляя выражения по два, по пять, по девять  и т. п.
Можно предложить детям отсчитать и разместить в ряд четыре треугольника; отсчитать и разложить под треугольниками столько же кругов; под кругами – равное им количество квадратов; пересчитать, сколько треугольников, кругов, квадратов. И в заключение задать вопрос: «По скольку геометрических фигур в каждом ряду?». Воспитатель стимулирует разные формы ответов: лаконичные (по четыре ), распространенные (По четыре геометрические фигуры.  Или: в каждом ряду разложено равное количество фигур – по четыре. )
Можно также предложить ребенку самостоятельно взять 3–4 различных вида предметов (игрушек), но в равном количестве, разложить друг против друга и показать их равенство, обобщив, по скольку предметов (игрушек) каждого вида он подобрал.
Развитию понимания числа как показателя мощности множества способствуют упражнения с использованием числовых фигур. Воспитатель показывает числовую карточку и предлагает отсчитать и положить перед собой столько предметов, сколько кружков на карточке. Он еще раз демонстрирует карточку и называет число, а дети отсчитывают и кладут столько же предметов. Затем он спрашивает: «По скольку вы положили игрушек? По скольку игрушек на столе и кружков на карточке?».
Необходимо упражнять детей в нахождении равенств в непосредственном окружении (дети сидят за столами по двое (по четверо); около каждого стола по два стула; в каждом шкафчике по пять полотенец и т. д.).
Воспитатель закрепляет представления детей о том, что группы предметов могут быть равными и тогда, когда одна занимает больше места, а другая меньше. Он располагает на фланелеграфе на разных уровнях треугольники и квадраты. Дети определяют их количество (пять и пять). Затем воспитатель меняет положение треугольников, предлагает сосчитать их и сказать, изменилось ли первоначальное их количество; по скольку теперь квадратов и треугольников; что изменилось (по‑другому положили треугольники, и они стали занимать больше места ); как можно расположить квадраты, чтобы было видно, что их столько же, сколько треугольников. (Расположить парами, разложить друг против друга. )
Можно использовать другую ситуацию: квадраты расположить под треугольниками через один и задать вопросы: «Изменилось ли количество фигур? По скольку квадратов и треугольников? Как можно проверить, что их по пять?» (Положить под каждый квадрат один треугольник и сосчитать их. )
На основе получения из равномощных множеств неравномощных путем добавления или удаления какого‑либо одного предмета у детей формируют понимание того, что каждое число больше или меньше другого на один (6 больше 5 на 1, а 5 меньше 6 на 1 и т. д.).
Постепенно дети учатся сравнивать все рядом стоящие числа от 1 до 10 и понимать характер разностных отношений между ними (убеждаются, что разность между числами‑»соседями» всегда составляет число один ). Когда дети усвоят, что одно число меньше (или больше) другого на один, им разъясняют: если к меньшему числу добавить один, получится большее, то есть следующее число, а если большее число уменьшить на один, получится меньшее, то есть предыдущее. Все сведения о связях и отношениях чисел преподносятся путем наглядного сравнения групп предметов. В процессе таких упражнений воспитатель использует вопросы: «Сколько было?», «Сколько добавили (убрали)?», «Сколько стало (осталось)?». Таким образом, детей знакомят с принципом образования каждого натурального числа (в пределах 10).
В программе старшей группы предусмотрен начальный этап формирования понятия о том, что некоторые предметы можно разделить на несколько равных частей: на две, четыре. Например, ленту, лист бумаги, яблоко можно разрезать пополам, то есть на две равные части (каждая из них называется половиной), но эти предметы можно разделить и на четыре равные части.
Обучение делению целого на равные части и связанное с ним измерение величины условной мерой готовят детей к решению практических задач, часто встречающихся в жизни, например, когда нужно разделить на равные части листы бумаги, чтобы их хватило всем для занятий рисованием, или разрезать на равные части салфетки для сервировки стола и т. д.
На первом занятии по делению целого на равные части надо создать игровую ситуацию, которая сделает необходимым поиск решения поставленной задачи. Например, две куклы собираются в гости, и им нужно завязать банты, но лента только одна. Что нужно сделать, чтобы нарядить обеих кукол? Дети могут предложить разные решения, но приемлемым будет лишь одно: разрезать ленту на две равные части. Воспитатель путем сгибания, а затем разрезания делит ленту пополам, показывает равные части детям и завязывает куклам банты. На этом же занятии дети упражняются в делении цветной полоски бумаги на две равные части.
Далее надо научить детей путем сгибания делить квадрат и круг на четыре равные части и сравнивать их.
Нужно также показать, что путем разрезания на части можно разделить яблоко, грушу, пряник, хлеб и др. Однако начинать изучение деления целого на равные части нужно со складывания, а не с разрезания, так как при складывании (сгибании) легче установить равенство частей, получившихся при делении.
Воспитатель объясняет детям, что при делении предметов пополам получаются две равные части , а если их еще раз разделить пополам, то получатся четыре равные части.  Во всех случаях деления целого на равные части воспитатель побуждает детей анализировать, на сколько равных частей разделили предмет (назвать, показать), проверить их равенство (сравнить части путем совмещения, наложения), предлагает восстановить целое путем присоединения одной части к другой, сравнить целое с частью, подводит к пониманию того, что часть меньше целого, а целое больше каждой своей части. 
Величина 
Детей продолжают учить сравнивать предметы по величине (длине, ширине, высоте), раскладывать предметы (до 10) в порядке убывания или возрастания их размеров, отражать в речи размерные отношения предметов (розовая палочка короче голубой; голубая длиннее розовой; красная длиннее голубой, а голубая короче красной и т. д.). В ходе выполнения упражнений на сравнение размеров предметов закрепляется понимание относительности их величины (в зависимости от того, с каким предметом ведется сравнение, конкретный предмет может быть то длиннее, то короче сравниваемого и т. д.). В эти же упражнения можно включать задания на счет. Например, предложить детям посчитать все палочки и сказать, которая по счету самая длинная и которая самая короткая; сколько палочек расположено после самой короткой; сколько перед зеленой (после красной) и т. д.
Полезно проводить упражнения на выявление нарушений в закономерности расположения предметов, например, такие как: «Разложи по порядку», «Наведи порядок», «Построй по росту», «Найди место предмета», «Узнай, какой предмет в ряду лишний», «Какого предмета не хватает?» и др.
В старшей группе детей учат определять величину предметов на глаз. Так, воспитатель показывает 2–3 матрешки разного размера и предлагает на глаз подобрать среди других матрешку, соответствующую размеру одной из тех, что стоит на столе; построить для матрешек ворота (домики) соответствующей высоты или во время прогулки сравнить по высоте 3‑, 5‑, 8‑этажные дома, назвать, какой самый высокий (пониже и т. д.), и обосновать свой ответ.
Упражнения на сравнение размера предметов могут носить самый разнообразный характер. Например, детям предлагается определить на глаз, чей домик (стол, стул) выше (ниже), или сравнить по высоте (длине, ширине, толщине) предметы, изображенные на картинках (рисунках), и ответить на вопросы: «С каких горок катаются дети?», «На каких деревьях сидят птицы?», «По каким дорожкам бегут звери?», «Какое животное самое большое (высокое) в зоопарке?» и т. д.
Можно дать детям задание внимательно посмотреть на образец воспитателя и найти среди нескольких предмет такой же длины (ширины, высоты или толщины), а также длиннее (короче), шире (уже), выше (ниже), толще (тоньше) образца. Правильность выполнения задания проверяется путем непосредственного соизмерения предметов (приемом наложения или приложения друг к другу).
В качестве одного из приемов закрепления представлений о величине и размерных отношениях может служить рассматривание иллюстраций, сопровождаемое чтением отрывков из стихотворения С. Михалкова «Дядя Степа».
Воспитатель также уточняет представления детей об изменениях предметов по длине, ширине и т. д. (отрезали конец веревки – она стала короче; надстроили этаж дома – он стал выше и т. д.).
Детей знакомят с элементарным способом измерения – опосредованным сравнением величины двух предметов с помощью третьего, равного одному из них. Воспитатель должен объяснить, что не всегда один предмет можно приложить к другому, чтобы сравнить их по величине, и что в таком случае предметы измеряют. Он показывает квадрат из плотной бумаги или картона и предлагает определить равенство сторон, измерив каждую. Для этого воспитатель раздает заранее заготовленные полоски бумаги, равные стороне квадрата (квадратов), который лежит перед детьми. Показывает, как прикладывать полоску. Объясняет, что раз полоской мерили стороны квадрата, то ее можно назвать меркой, или мерой. Все стороны квадрата (квадратов) равны мерке, следовательно, они равны между собой.
Можно дать детям задание самим сделать мерку, равную длине стороны квадрата. Для этого дети прикладывают бумажную полоску к стороне квадрата, делают отметку, отрезают лишнее и получают мерку (меру), то есть меркой сначала становится сама сторона квадрата.
После упражнений по измерению сторон квадрата детям предлагают измерить стороны прямоугольника. Для этого используется прямоугольник, равный половине квадрата. Измерив две противоположные стороны прямоугольника прежней меркой, дети делают вывод: они равны сторонам квадрата; измерив две другие, убеждаются: они меньше мерки. Затем дети изготавливают мерку, равную меньшей стороне прямоугольника, измеряют меньшие стороны фигуры и устанавливают, что они тоже равны. Дети сравнивают полоски (мерки) и приходят к выводу: если мерки не равны, то и не все стороны прямоугольника равны. Усвоение такого способа сравнения играет существенную роль в развитии мышления ребенка.
По мере овладения опосредованным способом сравнения предметов по величине можно предлагать задания практического характера, например, подобрать лыжи по росту детей, горшки для цветов, книги по размеру полок и т. п.
Форма 
В старшей группе детей знакомят с новым понятием – четырехугольник.  При этом воспитатель опирается на уже имеющиеся у них представления о квадрате. На занятии дети получают по пять квадратов различной величины и цвета. Воспитатель спрашивает, чем они отличаются, и предлагает разложить их в порядке убывания величины слева направо, интересуется, чем фигуры похожи, привлекает внимание детей к количеству углов у каждого квадрата, предлагает вспомнить, сколько углов у треугольника, подводит детей к выводу: фигуру с тремя углами называют треугольником. Воспитатель предлагает подумать: как можно назвать фигуру, у которой четыре угла (четырехугольником ), просит сказать, сколько у них треугольников и сколько четырехугольников, сравнить их число.
На следующем занятии дети получают четырехугольники двух видов: квадрат и прямоугольник, сравнивают фигуры, уточняют, чем они отличаются и чем похожи, отвечают на вопрос: «Как можно по‑другому назвать квадрат и прямоугольник?». Такой путь знакомства детей с четырехугольником способствует формированию умения делать нужные обобщения.
В дальнейшем, развивая представления детей о форме, воспитатель может предложить нарисовать или выложить из палочек разные четырехугольники (у которых все стороны равны, у которых по две стороны равны), назвать их; найти и назвать предметы четырехугольной формы; сложить четырехугольник из двух равных треугольников, из четырех равных квадратов и др.
Детей знакомят также с овалом , сравнивая его с известными им фигурами – кругом и прямоугольником. Воспитатель фиксирует внимание детей на том, что овал, как и круг, не имеет углов, но он вытянут по форме, как прямоугольник. Методика ознакомления с овалом подобна той, что описана в средней группе (см. раздел «Форма»).
Знание детьми геометрических фигур позволяет проводить дидактические игры разной степени сложности, например, «Найди по описанию», «Кто больше увидит?», «Найди такой же узор», «Найди каждой фигуре свое место», «Подбери по форме», «Назови лишние фигуры», «Выложи форму из фигур и палочек», «Дострой фигуру» и др.
Воспитатель развивает геометрическую зоркость детей, учит распознавать в окружающих предметах знакомые геометрические фигуры: круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, овал, шар, куб, цилиндр; подбирать предметы одинаковой и разной формы (книга, картинка, полотенце – прямоугольные ; тарелка, блюдце, часы – круглые ; бревно, банка, стакан – цилиндрические  (как цилиндр ); блюдо и поднос – овальные ). Наряду с этим детям предлагают группировать предметные картинки по признаку формы изображенных на них предметов и рассказывать о проделанном.
Можно организовать игру типа «Лото». Детям раздают картинки (по 3–4 на каждого), на которых они должны отыскать фигуру, подобную той, которую демонстрирует воспитатель, и назвать ее.
Под руководством воспитателя дети учатся способам классификации фигур, затем самостоятельно выкладывают из геометрических фигур различные узоры и предметы: из треугольников – коврик, из квадратов и кругов – автомобиль, из квадратов и треугольников – лодку и более сложные конструкции.
Ориентировка в пространстве 
Необходимо продолжать учить детей ориентироваться в помещении детского сада, его обстановке, расположении различных предметов и игровых материалов; знакомить с местами хранения учебных пособий для занятий, приучать брать и возвращать вещи на определенное место, называть места их хранения; учить ориентироваться на улице (где расположен детский сад), в расположении участка своей группы и сопредельных с ним участков, физкультурной площадки, подсобных помещений для хранения уборочного и огородно‑садового инвентаря.
Пространственные представления расширяются и закрепляются в процессе всех видов деятельности, в том числе в результате включения в занятия упражнений на ориентировку в пространстве. Например, воспитатель дает задание: «Расставьте предметы по порядку так, чтобы слева был самый высокий предмет, а справа самый низкий» (или наоборот). Он расставляет на столе игрушки и говорит: «Посмотрите и скажите, кто стоит рядом с коровой? Слева от кошки? Между какими животными находится овца?». Затем перемещает игрушки так, чтобы они стояли друг за другом: «Кто теперь стоит первым? За кем кошка? Перед кем овца? Кто за овцой?» и т. д.
Одним из методических приемов могут служить рассматривание сюжетных картин (пространственного расположения предметов), в частности, в пособиях В. В. Гербовой («Развитие речи: Учебно‑наглядное пособие для детей 2–4 лет, Развитие речи: Учебно‑наглядное пособие для детей 4–6 лет. – М.: Владос, 2003, 2004), иллюстраций к русским народным сказкам «Репка», «Теремок», «Гуси‑лебеди» и др., к отдельным фрагментам произведений К. Чуковского «Мойдодыр», «Федорино горе», «Тараканище», а также чтение произведений С. Маршака «Городской трамвай», В. Драгунского «Сверху вниз, наискосок» и др.).
Эффективны также упражнения, в которых дети определяют свое положение среди окружающих предметов (я стою за стулом, рядом со столом, перед окном ), передвигаются в заданном направлении или определяют направление движения других предметов. С этой целью проводятся такие игры и игровые задания, как: «Куда пойдешь – то и найдешь», «Дойди до флажка», «Найди флажок», «Улица и пешеход», «Прятки», настольные и словесные дидактические игры на определение направления движения: «Парные картинки», «Наоборот», «Назови, что изменилось», «Подбери нужное слово», «Выбери правильный ответ» и т. д.
Детей учат ориентироваться на ограниченной поверхности (листе бумаги), раскладывать определенное количество предметов в указанном направлении, в верхней, нижней части листа (по краям), слева, справа и др. Можно использовать такие задания: «Слева на лист положить пять кругов, а справа – на один больше; в нижнем и верхнем краях листа разместить по восемь треугольников и квадратов». Выполнив задание, ребенок рассказывает, какие фигуры, где и сколько он разместил. Необходимо учить детей употреблять слова, обозначающие расположение предметов на плоскости (листе бумаги, на столе, на полу): слева от, справа от, выше – ниже, ближе – дальше, около, из‑за, вдоль, между, рядом  и т. д.
Упражнения в ориентировке на листе бумаги воспитатель связывает с развитием у детей умения создавать повторяющиеся последовательности, различные ритмические узоры, например, предлагает выявить в линейном расположении фигур закономерность в их чередовании и продолжить ее.
Полезно проводить игры в лабиринты, предлагать детям определять направление движения с помощью стрелок‑указателей или перемещаться в соответствии с планом маршрута. Такие игры концентрируют внимание, помогают преодолевать путь по схеме, которая указывает начало и конец движения. С помощью простейших схем движения дети отыскивают лубяную избушку зайчика в лесу, помогают Незнайке добраться до волшебной страны Математики, белочке собрать все орешки в бору, описать путь Красной Шапочки в лесу и т. п. Дети не только двигаются по стрелкам‑указателям, описывают путь сказочных героев, но и с помощью воспитателя моделируют собственные планы маршрутов.
Ориентировка во времени 
Воспитатель уточняет полученные в средней группе представления детей о частях суток, их временной последовательности, знакомит с новым понятием сутки.  Новые сведения даются с учетом того, что дети уже знают о таких отрезках времени, как утро, день, вечер  и ночь.  Материал программы усваивается в повседневной жизни по явлениям природы (солнце светит ярко – день; стемнело – вечер и пр.).
Закрепить представления детей о частях суток позволяют картинки, фотографии, где изображены дети и взрослые, занятые различными видами деятельности в разное время дня; дидактические игры: «Наш день», «Продолжай!», «Наоборот»; словесные дидактические игры, в которых дети придумывают предложения, рассказы со словами, обозначающими время, отгадывают загадки («Когда это бывает?», «Какое это время года?»), слушают чтение литературных произведений, характеризующих деятельность людей в определенное время суток (Э. Мошковская «Добежали до вечера» и др.).
Воспитатель объясняет, что утро, день, вечер, ночь  составляют сутки , но чаще, имея в виду сутки, люди употребляют слово день ; один день сменяется другим, семь дней составляют неделю, каждый день в неделе имеет свое название. Названия дней недели ребенку легче запомнить, если связать их с какой‑то конкретной деятельностью или событием (по вторникам – занятия математикой и физкультурой, по четвергам – музыкальные занятия и т. д.).
В повседневной жизни воспитатель приучает детей выполнять распорядок дня, формирует представление о выходных днях и рабочих, учит понимать закономерность в их чередовании.
Когда дети освоят порядковый счет, воспитатель помогает им осознать связь в названии каждого дня недели с его порядковым номером (первый день недели – понедельник, второй – вторник и т. д.).
Опираясь на имеющиеся представления, дети вместе с воспитателем рассказывают, что они делают сегодня,  что делали вчера , какое событие (например, праздник) будет завтра. 
Используются также задания на воспроизведение последовательности событий, упорядоченных во времени, например, предлагается разложить картинки, чтобы было понятно, что было сначала , а что потом, раньше  (позднее  (позже )), и составить по ним небольшой рассказ.

ПРИМЕРЫ ЗАНЯТИЙ 

Занятие 1 
Цель.  Выявить умение детей считать (отсчитывать из большего количества) предметы в пределах 5; сравнивать группы и числа на основе составления пар, уравнивать группы, убирая из большей или добавляя к меньшей один предмет. Закрепить знание знакомых геометрических фигур, учить ориентироваться на плоскости и обозначать в речи основные пространственные направления.
Ход занятия 
Часть 1. Коллективная работа.  Предложите детям сосчитать различные группы предметов (в пределах 5). Напомните им правильные приемы счета. Попросите отсчитать из больших групп столько игрушек (тарелочек, ложек, чашек), сколько кукол пришло в гости, а затем разложить игрушки парами и обозначить равенство групп числом (всех игрушек: кукол, тарелочек, ложек, чашек поровну, по 5 ).
Предложите сравнить группы, состоящие из 3–4, затем 4–5 предметов, последовательно разложив предметы одной группы против предметов другой. Попросите детей определить, каких предметов больше (меньше), затем сосчитать и сравнить их число. Предложите сделать так, чтобы игрушек в группах стало поровну (равное количество). Напомните способы получения равенства из неравенства: «Пять больше, чем 4, на один, если к четырем предметам добавим 1, станет по 5 предметов, то есть поровну; четыре меньше, чем 5, на 1, если от 5 предметов уберем один, будет тоже поровну, по 4». При выполнении упражнения используйте смену нескольких наименований групп предметов (игрушек).
Часть 2. Самостоятельная работа.  Предложите детям подготовить для кукол комплект варежек и шапочку с одинаковым узором из знакомых геометрических фигур (круга, квадрата, треугольника, прямоугольника). Попросите их нанести фигуры на заготовки и составить узоры по собственному замыслу; затем рассказать, какие фигуры и в каком количестве использовались при составлении узоров, как они расположены (какая фигура находится в середине, справа  (слева ) от нее, над, под, между ).

Занятие 2 
Цель.  Познакомить детей с понятием «множество». Учить создавать множества из разных по качеству элементов, устанавливать отношения между целым множеством и его частью.
Продолжить работу по формированию представлений о величине (длине, ширине и высоте) предметов.
Выяснить, имеют ли дети представление о частях суток, их последовательности. Формировать пространственно‑временные представления: сначала, потом, до, после. 
Ход занятия 
Часть 1. Коллективная работа.  Предложите детям рассмотреть различные множества, состоящие из игрушек, звуков или движений. Спросите, как можно назвать много игрушек (много звуков, много движений). (Множество игрушек, множество звуков, множество движений. ) Уточните, из чего может состоять множество. (Из отдельных предметов, звуков, движений и т. п.)
Попросите детей определить, из чего составлено множество кубиков (солдатиков, машин или других игрушек). (Из отдельных кубиков, отдельных солдатиков, отдельных машин. )
Выясните у детей, можно ли объединить множество солдатиков и множество машин в одну большую группу и как она будет называться. (Множество игрушек. ) Поинтересуйтесь, как можно по‑другому назвать машины и солдатиков большого множества игрушек. (Они – части этого большого множества игрушек. ) Попросите детей сосчитать части (их две), а затем игрушки каждой части множества. Сравните с детьми их численность, определяя, какая из частей (машины или солдатики) больше, а какая меньше или они равны между собой.
Затем еще раз рассмотрите большое множество и каждую его часть. Обратите внимание детей на то, что части, составленные из солдатиков и машин (то есть каждая часть), меньше целого множества. На основе этих сравнений подведите детей к выводу о том, что маленькие группы предметов могут быть собраны в одну большую группу (большое множество); что оно больше каждой своей части, а часть меньше целого множества. (Подобным образом может быть рассмотрено множество, состоящее из трех частей.) В заключение предложите детям самим придумать варианты различных множеств, состоящих из двух‑трех частей.
Часть 2. Коллективная работа  (проводится в кукольном уголке). Напомните детям приемы обследования и сравнения предметов по длине (их прикладывают друг к другу, выравнивая края слева или справа), ширине (для сравнения ширины выравнивают верхние или нижние края), высоте (предметы ставят рядом на ровную поверхность – пол, стол и т. п.).
Предложите детям построить для кукол две скамеечки разной длины, ширины и высоты, посадить на них одинаковых по величине кукол; сосчитать кукол на разных скамейках; сравнить их число. Выясните с детьми, почему на скамейках поместилось разное количество кукол.
Часть 3. Самостоятельная работа.  Рассмотрите с детьми демонстрационные картинки и предложите им ответить на вопросы: «Какие части суток изображены?», «Когда это бывает?». Затем попросите каждого ребенка разложить по порядку картинки с изображением разного времени суток и рассказать: «Что бывает сначала?» и «Что бывает потом?».

Занятие 3 
Цель.  Продолжить работу по ознакомлению с количественным составом чисел из единиц (в пределах 5). Начать формировать представление о том, что число не зависит от формы расположения предметов. Учить анализировать форму реальных предметов, находить в ближайшем окружении предметы одинаковой и разной формы, называть ее.
Ход занятия 
Часть 1. Самостоятельная работа.  Предложите детям составить группы из разных предметов в соответствии с названным числом (в пределах 5): число 3 из трех разных предметов посуды; число 4 из четырех разных видов овощей (фруктов) и т. д. Учите детей объяснять, как составлена группа: какие предметы (игрушки) и по скольку игрушек каждого вида они взяли; сколько всего предметов (игрушек) в группе. Побуждайте их использовать разные речевые конструкции, например: «Я взял одного мишку, одну куклу и одну машину, всего три игрушки» или «Я отобрал пять разных фигур, каждую по одной: один круг, один овал, один треугольник, один квадрат и еще один прямоугольник. Всех фигур – 5».
Часть 2. Коллективная работа.  Рассмотрите с детьми несколько случаев равенства групп, когда предметы одной из них, например, яблоки или персики (их изображения) расположены в форме круга, а другой, например, помидоры или огурцы – в форме треугольника (или квадрата). Спросите детей, как можно определить, равное или неравное количество овощей (или фруктов) содержится в разных группах. Предложите им использовать такой способ проверки правильности ответов: расположить предметы (картинки с изображением предметов) парами или соединить изображения стрелками так, чтобы было видно, что в группах предметов поровну; пересчитать фрукты и овощи и сравнить полученные при счете числа.
Часть 3. Коллективная работа.  Попросите детей внимательно рассмотреть форму нескольких знакомых предметов (тарелка, блюдо, часы, учебная доска, лист бумаги, косынка, картина и др.) и ответить на вопросы: «На что похож предмет?», «Какой он формы?». Активизируйте употребление детьми слов и выражений: как круг  (круглая, круглое ), как овал  (овальное ), квадратная  (квадратный ), треугольная, прямоугольная  (прямоугольные ). Проведите игровые упражнения на определение геометрической формы окружающих предметов: «Кто самый внимательный?», «Кто назовет больше?».

Подготовительная к школе группа
(от шести до семи лет)

К шести годам ребенок усваивает относительно широкий круг знаний о числе, форме и величине предметов, способен элементарно ориентироваться в двумерном и трехмерном пространстве и времени.
Воспитатель содействует дальнейшему накоплению конкретных наглядно‑действенных представлений, их систематизации и обобщению, готовит детей к школе.
В подготовительной к школе группе у детей совершенствуют навыки количественного и порядкового счета в пределах 10, счета на слух и по осязанию, отсчитывания предметов из большего количества в соответствии с заданным числом. При условии успешного овладения навыками счета до 10 формируют умение считать в пределах 20.
С начала года воспитатель углубляет понимание детьми некоторых математических отношений и зависимостей. На примере рассмотрения чисел первого и второго десятков они выясняют, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду путем прибавления единицы к предыдущему числу или вычитания единицы из числа, непосредственно следующего за ним при счете, устанавливают разностный характер отношений между рядом стоящими числами, отношения между любым числом ряда и всеми предшествующими и последующими за ним в ряду числами (в пределах 10, а затем 20); знакомятся со способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения конкретных групп предметов, а затем без использования наглядности – по месту, занимаемому числом в натуральном ряду), усваивают количественный состав из единиц чисел второго пятка, состав чисел из двух меньших (в пределах 10), отдельные математические термины («множество», «величина», «мера», «равенство», «неравенство», «целое», «часть» и др.), элементы математической символики (цифры, знаки действий – плюс, минус, знак отношения – равно); учатся составлять и решать простые арифметические задачи (в одно действие на сложение и вычитание).
На основе упражнений в делении предметов на равные части (две, четыре, восемь) и измерения величин по заданной мере у детей углубляется понимание взаимосвязи между целым и его частью, зависимости результата измерения (числа) от величины меры, вводится счет группами (двойками, тройками и др.).
В процессе обучения на занятиях по развитию математических представлений в подготовительной группе детей учат классифицировать предметы по общим и отличительным признакам, устанавливать закономерности, последовательно рассуждать, формулировать ответы, делать соответствующие выводы, выбирать адекватный способ решения поставленной задачи.
У детей развивается пространственное воображение, начальные элементы конструкторского мышления. Они получают сведения о многоугольнике, конструируют модели геометрических фигур; анализируют более сложные по форме объекты, выделяя в них знакомые геометрические фигуры; составляют целые предметы и фигуры из различных частей.
Дети овладевают умением ориентироваться в ближайшем (трехмерном) пространстве с использованием общепринятых обозначений (некоторых знаков – указателей направления движения, символов), а также в двухмерном пространстве (на листе бумаги, странице тетради, книги и т. п.), учатся моделировать пространственные отношения, правильно обозначать их словами (правее – левее, выше – ниже, правый верхний  (угол ), левый нижний  (угол ), над, под, перед, впереди, за, сзади, напротив, между, в середине, вокруг, вдоль, поперек  и др.); «читать» элементарное графическое изображение направления движения в пространстве (простейшие маршрутные карты), двигаться в соответствии со схемой, указателями на плане или определять по ним направление: слева направо, справа налево, снизу вверх, сверху вниз.
У детей формируют элементарные представления о времени, его необратимости, периодичности, сменяемости; последовательности дней недели, месяцев года; постепенно развивают чувство времени. Детей знакомят с часами, некоторыми единицами измерения времени: минута, час.
Воспитатель стремится сформировать устойчивый интерес к математическим знаниям, умение пользоваться ими в жизни, стремление самостоятельно приобретать их.
Очень важно в подготовительной группе на основе занятий по элементарной математике формировать у детей приемы мыслительной деятельности (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение), а также развивать вариативность мышления, произвольность поведения, самоанализ и самоконтроль.
В подготовительной к школе группе рекомендуется проводить два занятия в неделю (примерно 70–72 занятия в год). На занятиях наряду с объяснением воспитателя и совместными действиями детей обязательно предусматривается самостоятельная работа каждого ребенка с раздаточным материалом.

Таблица 4 

Примерное распределение программного материала на год 

Продолжение таблицы 4 

1 Последовательность изучения тем и количество занятий, отводимых на каждую тему, могут варьироваться воспитателем.
2 Изучение данных тем не ограничивается указанным количеством занятий. Предполагается, что эти темы закрепляются во второй или третьей части других занятий по математике.
3 Этот материал вводится при условии прочного усвоения чисел первого десятка.

Количество и счет 
В подготовительной группе продолжается работа по выявлению общих свойств отдельных предметов и групп, выделению из множества его частей, в которых предметы отличаются по тому или иному признаку. Детей упражняют в дополнении множеств и объединении нескольких частей в целое множество, что способствует формированию общих представлений о действии сложения как объединении частей в единое целое и действии вычитания как удалении части из целого, углубляют представление о взаимосвязи части и целого.
Упражнения с множествами носят разнообразный характер. Например, воспитатель предлагает рассмотреть группу мелких игрушек или картинку, изображающую разные виды транспорта, а затем разделить множество на части (по видам транспорта) и количество элементов каждой части обозначить соответствующей числовой фигурой (или цифрой), например: трамваев – 3, автобусов – 3, легковых машин – 4.
Все три части составляют единое множество, поэтому подсчитывается общее количество элементов группы –10. Воспитатель может предложить детям объяснить, как было образовано множество, состоящее из 10 единиц транспорта.
В другом варианте задания на объединение частей множества детям предлагают составить группу из разных предметов, например, овощей или цветов, так, чтобы в каждой части было по 4 или по 5 овощей (цветов), побуждают рассказать о проделанном.
В ходе выполнения подобных упражнений дошкольников упражняют не только в объединении частей в целое, но и в присоединении к множеству новых элементов, счете элементов каждой части и частей объединенного множества.
При проведении упражнений на удаление части предметов из множества можно сначала подсчитать общее количество предметов (6 яблок), назвать число предметов каждого вида (3 больших яблока и 3 маленьких), собрать предметы одного вида и убрать, а потом сосчитать предметы другого вида в оставшейся части множества. В конце воспитатель с помощью детей подводит итог: группа была составлена из двух частей (больших и маленьких яблок), одну часть (маленькие яблоки в количестве трех) убрали, осталась другая часть (большие яблоки). Затем еще раз подсчитывается число яблок в оставшейся части. Устанавливается, что каждая часть множества (часть группы) меньше целого множества (группы), а вместе они составляют одно большое целое множество (группу).
Подобные упражнения служат необходимой основой для усвоения арифметических действий сложения и вычитания.
Объединяя группы предметов, удаляя из группы часть (части), дети сравнивают и анализируют общие и разные свойства элементов группы, овладевают умением выделять признаки сходства и различия предметов (частей), проявляют гибкость мышления. В результате представление о множестве обогащается, делается более осознанным и вариативным. Дети начинают понимать: в одном случае элементами множества могут быть отдельные предметы, а в другом – группы предметов.
При проведении упражнений с множествами, как и при реализации других задач программы, наглядный материал следует варьировать, что способствует развитию умения анализировать и обобщать существенные стороны явлений, создает необходимую основу для формирования интереса к занятиям математикой, помогает отражать практические действия в речи.
В подготовительной к школе группе у детей совершенствуют навыки счета и отсчета в пределах 10. Их учат считать в любом направлении (слева направо, справа налево, сверху вниз, снизу вверх и т. п.) и независимо от формы расположения предметов (по кругу, в форме квадрата и т. д.), запоминая, какие предметы пересчитаны, с какого начали считать, не пропуская ни одного предмета и ни один предмет не считая дважды.
Упражнения в счете предметов целесообразно связывать с развитием пространственной ориентировки на плоскости и с упражнениями в координации движений руки и глаза. В этих целях весьма эффективны задания на подсчет (отсчет) клеток в тетради, рисование отрезков прямых линий заданной длины (например, длиной в пять, семь клеток и т. п.), определение места исходных точек и фигур, обозначение в речи их пространственного расположения.
Усвоение понятий поровну, не поровну, больше, меньше , а также формирование прочных навыков счета возможны только в результате выполнения разнообразных упражнений с использованием наглядного материала. Воспитатель располагает предметы в разных комбинациях: одну группу – в ряд, другую – по кругу; одну – в ряд, другую – несколькими (двумя, тремя) подгруппами и т. д., побуждая детей искать способы, с помощью которых удобнее и быстрее считать предметы в зависимости от их разного расположения.
Постепенно дети начинают понимать, например, что число (количество предметов) не зависит от формы расположения предметов, расстояния между ними, других пространственно‑качественных признаков (цвета, формы, размера), а также направления счета. Число изменяется лишь в том случае, если к группе добавляются предметы или удаляются из нее.
Для формирования понятия числа необходимо считать не только реальные предметы и их изображения, но и звуки, движения, определять количество предметов по осязанию (на ощупь).
На данном возрастном этапе у детей продолжают формировать навыки порядкового счета, понимание порядкового значения числа и порядковых отношений. Например, воспитатель показывает картинку с изображением школьных принадлежностей (5–8 предметов) и спрашивает: «Сколько всего предметов изображено на картинке? Который по счету тот или иной? Какие предметы лежат перед тетрадью? Сколько их? Какие предметы находятся между книгой и ручкой? Которая по счету ручка?» и т. д.
Сравнивая множества и устанавливая взаимно‑однозначное соответствие между их элементами (путем составления пар предметов), дети уже в 4–5 лет различают бо́льшие и меньшие числа, знают, какое число больше (или меньше) другого, как из неравенства сделать равенство (добавить, убрать один предмет). В возрасте 6 лет необходимо подвести детей к пониманию закономерности: каждое последующее число больше предыдущего на один, а каждое предыдущее меньше последующего на один. Этот механизм лежит в основе построения натурального ряда чисел, а также разностного характера отношений между рядом стоящими числами. Например, воспитатель предлагает отсчитать шесть квадратов, кружков на один меньше, чем квадратов, а треугольников на один больше, чем квадратов; расположить их друг под другом, сравнить и назвать, на сколько одно число больше и меньше другого. Устанавливается, что 6 меньше 7, но больше 5 на 1; 7 больше 6, а 5 меньше 6 на 1 и т. д. Подобные упражнения проводятся со всеми числами натурального ряда в пределах 10.
Задания на увеличение или уменьшение числа, а также уравнивание чисел могут быть различными: постучать, подпрыгнуть, подбросить мяч определенное число раз, сделать столько‑то шагов, показать числовую фигуру с количеством кружков на один больше (меньше) названного числа или обозначенного цифрой. Организуются игры типа «Домино», «Динь‑динь», «Стук‑стук».
Понимание соотношения количества и числа можно также развивать посредством упражнений: «Подбери нужную карточку», «Подбери столько же», «Отложи на счетах» и др.
Большое внимание уделяется умению рассуждать, доказывать правильность отдельных утверждений. Например, детей побуждают, используя наглядный материал, доказать, что 8 меньше 9 на 1, а 9 больше 8 на 1, 5 больше 4 и меньше 6 на 1 и находится между числами 4 и 6. Для этого воспитатель предлагает разложить изображения предметов на верхней, средней и нижней полосах наборного полотна. В результате ребенок еще раз наглядно убеждается: в одном ряду есть один лишний предмет, а в другом его недостает, значит, одно число больше другого на один, а другое меньше на один. Впоследствии детям предоставляется возможность выбрать способ доказательства своего высказывания (путем составления пар предметов, расположения изображений друг против друга, соединения стрелками или с помощью замещения реальных предметов символами, например, кружочками, палочками, камешками и т. п.).
Детей учат называть числа в прямом и обратном порядке (устному счету), то есть знанию последовательности чисел натурального ряда (в пределах 10–20). Первоначально эти упражнения проводят на конкретном материале. Рекомендуется начинать с небольших чисел. Например, воспитатель размещает на столе пять игрушек. После того как дети их пересчитают, говорит, что будет убирать по одной игрушке, а дети должны называть число оставшихся предметов. (Пять… четыре… три… два… один, ни одного. ) Постепенно – от упражнения к упражнению – количество предметов увеличивают.
Затем детей подводят к умению называть числа в прямом и обратном порядке без наглядного материала. В этих целях рекомендуется проводить словесные дидактические игры типа «Назови предыдущее (последующее, пропущенное) число», «Назови соседей», «Назови числа по порядку», «Кто знает, пусть дальше считает», «Считай в обратном порядке», «Кто больше назовет?», «Поймай мяч и назови число больше (меньше) на один», «Перекличка», «Кто самый внимательный?», «Живые числа», «Веселый счет» (нужно заметить повтор или пропуск чисел при их назывании) и др.
После того как дети познакомятся с цифрами, эти игры проводятся с использованием цифр. Дети раскладывают карточки с цифрами в порядке следования чисел натурального ряда, затем по заданию воспитателя называют их в обратном порядке (начиная, например, с чисел пять, семь, девять и др.).
Если дети хорошо усвоят количественное и порядковое значение числа в пределах 10, их можно познакомить со счетом в пределах 20 и особенностью образования двузначных чисел (11–20). Не следует торопить ребенка с запоминанием последовательности чисел этого отрезка. Устным счетом дети, как правило, овладевают быстро. Главное, чтобы они осознали механизм получения каждого двузначного числа: 11 – это 10 (дцать) и еще 1; 12 – это 10 и еще 2 и т. д.
В содержание занятий необходимо также включать упражнения на закрепление знаний о составе чисел из единиц первого пятка и определение количественного состава чисел из единиц второго пятка (подробно методика описана в старшей группе).
Большое место в обучении детей седьмого года жизни отводится ознакомлению с цифрами. Воспитатель сообщает, что о количестве предметов можно узнать, не только сосчитав их, но и глядя на цифры, как это делают взрослые. Он показывает на рисунке самолет и рядом выставляет цифру 1. Затем проводит ряд упражнений. Например, демонстрирует цифру 1, а дети предъявляют столько же предметов; показывает предмет, а дети говорят, какая нужна цифра, и кладут ее перед собой. Чтобы закрепить представления о цифре 1, можно предложить детям показать цифрой, на сколько 2 больше, чем 1, на сколько 1 меньше, чем 2.
Для ознакомления детей с цифрой 2 можно использовать как приемы, описанные выше, так и новые. Например, воспитатель спрашивает, о каких предметах в комнате можно сказать, что их два или по два (предметы должны быть подготовлены заранее). Или выкладывает на фланелеграфе 2–3 пары предметов, говорит, что каждое число можно обозначить цифрой, и показывает ее. Так постепенно детей знакомят со всеми цифрами до 9.
Усвоение цифр осуществляется также и в процессе упражнений на образование меньших чисел. Воспитатель ставит пять предметов. Дети пересчитывают их. Затем воспитатель убирает один предмет и предлагает показать цифру (сколько осталось). Потом он убирает еще один и т. д. В заключение, когда не останется ни одного предмета, предъявляет цифру 0.
При ознакомлении детей с цифрами надо помнить, что некоторые из них имеют сходство (1, 4 и 7; 2 и 5; 3 и 8; 6 и 9) и для их различения требуется более тонкая дифференциация. Поэтому цифры целесообразно изучать не по порядку, а группами на основе их начертания. Например, одно из занятий можно посвятить цифрам 1 и 4. При знакомстве с ними внимание детей обращают на особенности конфигурации каждой цифры, сравнивают их начертание, устанавливают сходство и различие. Например, цифра 1 состоит из вертикальной палочки («столбика») и короткой наклонной палочки («носика») слева. У цифры 4 тоже есть вертикальная палочка справа, а слева вверху небольшой уголок. Дети сравнивают цифры, «рисуют» их в воздухе, обводят пальцем изображения печатных цифр.
Закрепление знаний осуществляется в процессе различных упражнений. Например, ребенок фиксирует, какое число больше (меньше) и на сколько, не только с помощью реальных предметов, числовых карточек, но и цифр. Можно предложить детям отсчитать такое количество предметов, которое соответствует предъявленной воспитателем цифре; пересчитать предметы и, не называя результата вслух, показать соответствующую цифру; ориентируясь на карточки с цифрами, установить, какое число больше (меньше) и на сколько (показать цифру).
С помощью цифр детей учат фиксировать (определять) последующее и предыдущее число к названному. Например, им демонстрируют цифру 6 и просят показать цифрой число, непосредственно следующее за ним при счете, демонстрируют цифру 7 и предлагают другой цифрой показать предыдущее число.
Для ознакомления детей с цифрами можно использовать различные пособия и игры, которые способствуют закреплению представлений о них: счетные таблицы с цифрами, цифровые кассы и лото, цифровые картинки с заданиями «Покажи пропущенную цифру», «Найди соседей», «Найди свой номер» и др.
В подготовительной группе у детей начинают формировать представления о составе числа из двух меньших: учат раскладывать число на два меньших и получать из двух меньших одно большее. Необходимо познакомить детей со всеми вариантами получения и разложения чисел в пределах 10. Начинать следует с чисел 2 и 3. Например, воспитатель помещает на фланелеграфе 3 зеленых кленовых листа и спрашивает, сколько их и какого они цвета. Затем заменяет один зеленый лист желтым, просит сказать, что изменилось, сколько стало листьев зеленого цвета и сколько желтого (2 зеленых и 1 желтый, а всего – 3; значит, 3 – это 2 и 1). Воспитатель вновь заменяет еще один зеленый лист на желтый, располагая его перед зеленым, и спрашивает, сколько теперь листьев, сколько желтых и сколько зеленых (1 желтый и 2 зеленых, значит, 1 и 2 тоже 3).
Подобным образом следует познакомить детей и с составом других чисел до 10:
4 – это 3 и 1; 1 и 3; 2 и 2;
5 – это 4 и 1; 1 и 4; 3 и 2; 2 и 3;
6 – это 5 и 1; 1 и 5; 4 и 2; 2 и 4; 3 и 3;
7 – это 6 и 1; 1 и 6; 5 и 2; 2 и 5; 4 и 3; 3 и 4;
8 – это 7 и 1; 1 и 7; 6 и 2; 2 и 6; 5 и 3; 3 и 5; 4 и 4;
9 – это 8 и 1; 1 и 8; 7 и 2; 2 и 7; 6 и 3; 3 и 6; 5 и 4; 4 и 5;
10 – это 9 и 1; 1 и 9; 8 и 2; 2 и 8; 7 и 3; 3 и 7; 6 и 4; 4 и 6; 5 и 5.
При изучении состава чисел из двух меньших рекомендуется упражнять детей в объединении не только бо́льшего с меньшим числом (7 и 1 – это 8), но и меньшего с бо́льшим (1 и 7 – это 8) на реальных предметах.
Для закрепления знаний о составе числа из двух меньших следует использовать упражнения с карточками, предметами, а позднее цифрами; игры типа «Угадай, сколько в другой руке?», «Составь число», «Прибавить, отнять», «Узнай, какое число я задумала», «Сколько недостает до 10?», «Разменяй!» и др. Знакомство с составом числа из двух меньших содействует овладению навыком решения простых задач на сложение и вычитание.
В подготовительной группе в процессе дальнейшего обучения делению предметов на равные части  важно развить понимание отношений неравенства целого и части, равенства всех частей между собою, равенства их всех вместе целому.
Обучение следует начинать с уточнения приемов деления листа бумаги (можно квадратной формы) на две равные части. Дети получают задание разделить на две равные части лист бумаги, сложив его пополам. Следует напомнить, почему говорится пополам  (две равные части называются половинами). После деления на две равные части листа бумаги воспитатель предлагает поместить одну половину на целый лист (то есть одну часть из двух), сравнить и сказать, что больше и что меньше (целый лист больше половины, половина меньше целого листа ). Затем воспитатель предлагает соединить половины и убедиться, что при соединении двух половин получается целый лист.
Для того чтобы дети лучше поняли слово половина , воспитатель делит лист бумаги на две неравные части и спрашивает, можно ли назвать одну часть половиной, и если нет, то почему. Необходимо объяснить детям, что половину можно еще назвать одна вторая часть.  Затем воспитатель просит детей показать одну вторую часть и положить ее на целый квадрат и то же проделать с оставшейся половиной. («Мы рядом положили одну вторую часть и еще одну вторую часть, то есть две половины, и получили целый квадрат».)
Закрепление знаний об отношении целого и его частей можно провести на примере деления круга пополам.
Далее у детей закрепляют представления о делении целого на четыре равные части и знакомят с делением предметов на восемь равных частей. Начиная занятие, следует спросить: «Не знает ли кто, как это можно сделать?». Если ответ правильный, воспитатель коротко и четко повторяет его. Если нет, объясняет, что лист бумаги надо сложить пополам и еще раз пополам. Напоминает, что работать нужно аккуратно, складывать ровно, чтобы части были равными. После того как бумага сложена, следует развернуть ее и предложить сосчитать, сколько равных частей получилось. Далее детям предлагается проделать то же самое самостоятельно, сказать, что сделали и что получилось: разрезать бумагу на четыре равные части, положить одну часть на целый лист и сравнивать, что больше – целый лист или одна часть. Затем положить еще одну часть и определить, что больше: целый лист или две его части, целый лист или три части, целое или четыре части. Подобным способом лист бумаги делится на восемь равных частей и целый лист сравнивают с каждой из восьми его частей.
Следует спросить детей, как можно назвать каждую часть из четырех, и познакомить со словами одна четвертая часть, четверть  (одна пятая, две пятых  и т. д.). Дети должны понять, что одна четвертая – это одна из четырех таких же частей, одна восьмая – одна из восьми частей и т. д. С этой целью можно провести следующие упражнения: взять одну часть листа из четырех и спросить, сколько четвертых осталось на столе; взять две части, положить их на целый лист и спросить: «Что больше, что меньше: целый лист или две четвертых листа?». Аналогичные упражнения можно проводить с кругом, овалом, полоской бумаги (прямоугольником), треугольником.
На одном из занятий, упражняя детей в делении целого предмета на 2, 4 и 8 равных частей, важно рассмотреть с детьми зависимость размера каждой части от общего количества частей, полученных при делении предмета, то есть показать, чем больше частей получится при делении целого, тем меньше каждая его часть и наоборот.
Когда дети научатся делить фигуры (предметы) на две, четыре и восемь равных частей и сравнивать, их учат находить по части целое и по целому его часть. Занятие можно организовать так. Воспитатель предлагает детям разделить квадратный лист бумаги на четыре равные части. Он берет квадрат бо́льшего размера и тоже делит его на четыре равные части. Затем предлагает каждому ребенку показать одну четвертую часть листа, получившуюся при делении квадрата, и предъявляет свою четверть. Обращает внимание на неравенство частей и дает возможность подумать, почему так получилось. (Неравные части получились при делении фигур разного размера. ) Исходные фигуры сравниваются, и дети наглядно убеждаются в их неравенстве. Если дети разницы частей не замечают, воспитатель, прикрепив на фланелеграф маленький и большой квадраты и их части, просит сравнить их. Он объясняет, что у детей части от меньшего, чем у него, листа, подводит к выводу: если предмет большего размера, то и часть его больше, а часть меньшего предмета меньше (при делении большого и маленького предмета на одинаковое количество частей). Затем предлагает к каждому из листов приложить соответствующие четверти. Так дети учатся устанавливать взаимосвязь явлений, что очень важно для развития логического мышления.
В подготовительной к школе группе детей можно знакомить с монетами, их названием, набором и разменом. С этой целью воспитатель раздает детям вырезанные из картона образцы монет достоинством в 1, 2, 5, 10 рублей, 1, 5 и 10 копеек. Предлагает рассмотреть их: «Это деньги.  Еще их называют монетами.  Посмотрите, какие цифры на них изображены. Рассмотрели? Найдите большую монету с изображением цифры 1. Это 1 рубль. Покажите монету достоинством в 1 рубль (воспитатель тоже показывает соответствующую монету). Найдите 2 рубля, на монете должна быть цифра 2. Найдите 5 рублей; 10 рублей. Эта монета отличается от других – она имеет золотистый ободок. Найдите 1 копейку, на ней тоже изображена цифра 1 (как на монете достоинством в 1 рубль), но 1 копейка– монета маленькая. Покажите 5, 10 копеек».
Затем воспитатель организует игру «Магазин». Он предлагает все монеты положить перед собой (заранее готовит предметы разной стоимости): «Магазин открыт. Лист белой бумаги стоит 10 копеек. Покажите монету, которую нужно отдать за лист белой бумаги. Карандаш стоит 5 рублей. Покажите такую монету. Стоимость листа цветной бумаги 1 рубль. Найдите монету в 1 рубль. Почтовая марка стоит 2 рубля. Найдите и покажите такую монету. Назовите ее » и т. д.
Игру «Магазин» можно повторить на 2–3 занятиях, подбирая разные товары.
На следующих занятиях нужно организовать упражнения с учетом полученных детьми знаний. (Дети изучали состав числа из единиц и из двух меньших чисел.) Рекомендуется сначала предлагать упражнения, в которых дети действуют с монетами достоинством 1, 2, 5, 10 рублей, а затем 1, 5 и 10 копеек. Целесообразны следующие игровые задания.
• Один лист цветной бумаги стоит 1 рубль, а набор из 10 листов цветной бумаги – 10 рублей. Подумайте, какими двумя монетами можно заплатить за набор цветной бумаги? (Двумя монетами: 5 и 5 рублей. Двумя монетами по 5 рублей каждая. )
• Школьная ручка стоит 3 рубля. Какими монетами можно за нее заплатить? (2 рубля и 1 рубль или 1, 1 и еще 1 рубль. )
• Открытка стоит 6 рублей. Какими монетами можно за нее заплатить? (1 рубль и 5 рублей или тремя монетами по 2 рубля, или шестью монетами по 1 рублю. )
Аналогичные упражнения проводятся с монетами достоинством до 10 рублей. За правильные ответы можно давать фишки или флажки. В конце занятия каждый ребенок подсчитывает набранные им фишки, то есть определяет, сколько раз он дал верный ответ.
Если дети усвоили понятия монета, рубль, копейка, деньги, стоит , воспитатель может предложить задачи типа: «Один маленький лист белой бумаги стоит 10 копеек, а за один большой лист белой бумаги надо заплатить на 1 рубль больше. Сколько он стоит?» (1 рубль и еще 10 копеек.)
Закреплению знаний служит игра «Что сколько стоит?». Детям раздают наборы монет из картона. Воспитатель раскладывает на своем столе различные предметы, говорит, что нужно определить цену каждого из них и проставить ее на товаре: «Красный карандаш стоит 5 рублей, а простой на 1 рубль меньше. Сколько стоит один простой карандаш? (Дети должны найти у себя нужные монеты, показать их, а затем кто‑нибудь из детей кладет соответствующую монету около карандаша.) Карандаш стоит 5 рублей, а клей на один рубль больше. Сколько стоит клей? Какие монеты надо взять и поставить рядом с клеем?» и т. д. Так дети вместе с педагогом определяют стоимость каждого предмета. Затем начинается распродажа. Воспитатель спрашивает ребенка: «Скажи, что ты хочешь купить, сколько стоит эта вещь?».
Новая задача воспитателя в подготовительной группе – научить детей составлять и решать простые арифметические задачи.  Обучение строится на основе предварительно проведенной работы по усвоению отношений части и целого, операций с множествами (объединение частей и удаление части из множества), а также изучения состава чисел из единиц и из двух меньших чисел. В то же время обучение решению арифметических задач является необходимым условием более осознанного понимания отношений величин, практического смысла арифметических действий сложения и вычитания.
Детей учат составлять и решать простые (прямые) арифметические задачи в одно действие, знакомят со случаями, когда к большему прибавляют меньшее число и когда вычитаемое меньше остатка, учат прибавлять сначала число 1, а затем числа 2 и 3 (по единице).
Формируя умение составлять задачи, необходимо использовать опыт наблюдений детей за окружающим, рассматривание картин, действия с предметами и игрушками, то есть учить составлять задачи на наглядной основе (задачи‑драматизации и задачи‑иллюстрации): «Женя поставил в гараж четыре машины. Саша поставил еще одну. О чем можно спросить в задаче?» (Сколько всего машин стоит в гараже ?)
Важно привлечь внимание детей к количественным отношениям между числовыми данными задачи: «Сколько  автомашин поставил в гараж Женя? Сколько  Саша? Больше или меньше стало  автомобилей после того, как Саша поставил один автомобиль в гараж?» И только убедившись в том, что дети запомнили числовые данные задачи и отношения, в которые они вступают, можно приступить к решению задачи. Для этого воспитатель формулирует вопрос: «Сколько автомобилей поставили в гараж Саша и Женя вместе?»
Уже на начальном этапе обучения решению задач необходимо научить детей различать две ее части: условие  (о чем говорится в задаче ) и вопрос  (о чем спрашивается ); понимать: для того чтобы ответить на вопрос, надо решить задачу. 
Одним из важнейших компонентов обучения решению арифметических задач является формирование умения рассуждать. Воспитатель учит детей объяснять, что известно  и что неизвестно  в задаче, что можно узнать  по данному условию и что нужно знать для ответа на вопрос задачи, какое арифметическое действие  нужно выполнить для получения ответа на вопрос задачи.  Так, предлагая решить задачу: «На дерево сели 8 птиц, 1 улетела и села на забор. Сколько птиц осталось на дереве?» – воспитатель задает уточняющие вопросы: «Что нам известно? (Всего было восемь птиц, одна из них перелетела на забор. ) А знаем ли мы, сколько птиц осталось на дереве? Надо найти их число. Как?». Вначале воспитатель учит детей рассуждать, не пользуясь числами: «Из всех птиц, сидящих на дереве, надо вычесть ту, что улетела». Затем продолжает: «Значит, восемь надо уменьшить на один. Из восьми вычесть один – останется семь. Сколько же птиц осталось на дереве после того, как одна перелетела на забор? На дереве осталось семь птиц. Таким образом, решив задачу, мы ответили на поставленный в ней вопрос».
Воспитывая умение рассуждать, воспитатель учит формулировать арифметическое действие: «От восьми отнять один, или восемь уменьшить на один – получится семь; восемь да один, или к восьми прибавить один – будет девять».
Когда дети научатся формулировать арифметическое действие, рекомендуется упражнять их в составлении задач не только на наглядной основе, но и по числовым данным или цифрам, которые воспитатель предъявляет детям. Познакомив детей с монетами, воспитатель также может использовать эти знания для составления и решения арифметических задач. В этом случае наглядным материалом будут служить модели монет достоинством в 1, 2 и 5 рублей. И в том, и в другом случаях вначале придумывается условие, а затем формулируется вопрос задачи.
Начинать обучение надо с задач на сложение и лишь затем переходить к задачам на вычитание. При этом на первом этапе обучения слагаемым или вычитаемым является число «один».
Для того чтобы у ребенка постепенно складывались представления о действиях сложения и вычитания, в задачах на вычитание следует использовать те же числовые данные, что и в задачах на сложение. Например: «Мама поставила в вазу четыре тюльпана, а потом еще один. Сколько всего тюльпанов в вазе?», «В вазе стояли пять тюльпанов, один мама переставила в другую вазу. Сколько тюльпанов осталось в вазе?». В первой задаче известны два слагаемых и неизвестна сумма. Во второй известны уменьшаемое и вычитаемое (второе слагаемое), а надо найти остаток (первое слагаемое).
В процессе решения задач воспитатель учит детей моделировать описанные в них взаимосвязи между данными и искомым с использованием не только наглядного материала, но и разного вида схематических (условных) изображений для краткой записи сначала условия, а затем и решения задачи.
В задачах на сложение воспитатель учит детей записывать арифметическое действие, используя карточки с цифрами и знаками сложения (плюс «+») и отношения (равно «=»), а в задачах на вычитание – со знаками вычитания (минус «–») и отношения (равно «=»).
После того как дети усвоят структуру задачи и арифметические действия сложения и вычитания, их можно познакомить с приемами присчитывания второго слагаемого (2 и 3) по единице и отсчитывания вычитаемого (2 и 3) по единице. Например, прибавляя к семи два по единице, воспитатель учит детей сопровождать свои действия словами: «К семи прибавить один – будет восемь и еще прибавить один – будет девять»; или вычитая из семи два по единице, он учит формулировать: «От семи отнять один – будет шесть и еще раз отнять один – будет пять. Значит, от семи отнять два – будет пять».
К концу года в результате организованных упражнений ребенок овладевает умением составлять простые арифметические задачи, различать условие и вопрос, выделять числовые данные, устанавливать отношение между ними, правильно выбирать и формулировать арифметическое действие, находить его результат и давать развернутый ответ на вопрос задачи.
Величина 
У детей закрепляют умение сравнивать длину (ширину, высоту) предметов путем непосредственного их соизмерения и сравнения на глаз, а также учат определять длину (ширину, высоту) предметов опосредованно – путем измерения с помощью условной меры. Но сначала нужно объяснить детям цель измерения.
Важно обозначить проблему и подвести детей к самостоятельному выводу о необходимости что‑либо измерить, например, выяснить, поместится ли шкаф (полка для книг) в простенок между окнами, в каком пакете больше (меньше) крупы, в какой емкости больше (меньше) воды, сколько воды в емкости.
Дети должны понять, что делают люди для того, чтобы выбрать предмет нужного размера: обувь, платье, брюки и др.
На одном из первых занятий по измерению воспитатель может задать детям вопрос, одинаковы ли по длине стол, который находится в книжном уголке, и тот, за которым они занимаются. Он подводит детей к мысли, что столы надо измерить. На столе уже разложены разные предметы, которые можно использовать в качестве мерок: тесьма, кусок веревки, картонная полоска и пр. Воспитатель заранее подбирает такие мерки, которые укладываются полное число раз (без остатка) в длине измеряемого предмета. Далее он показывает способы измерения, сообщает правила, которыми следует руководствоваться: начинать измерение надо точно от края стола, мерку укладывать прямо по краю стола (показывает), в конце мерки ставить точку (черточку) и затем от нее продолжать мерить дальше, каждый раз в конце отложенной мерки ставить точку, а около нее класть фишку, чтобы не забыть, сколько раз прикладывалась мерка. Измерение производится до конца стола, после чего подсчитывается общее количество меток (фишек). Дети называют, сколько раз мерка уложилась в длине стола, то есть чему равна его длина.
После того как дети усвоят приемы измерения длины, можно предложить им измерить длину одного и того же предмета мерками разной величины. Очевидно, что результаты измерения окажутся различными. Так воспитатель сможет подвести детей к выводу: результат измерения зависит от величины мерки и может обозначаться разными числами (большая мера укладывается меньшее число раз в длине (ширине) предмета, а маленькая – бо́льшее при неизменной протяженности предмета). Значит, чем больше мера (единица счета), тем меньше итоговое число при подсчете их общего количества и наоборот.
Приобретенные знания закрепляются в играх и игровых упражнениях. Например, в игре «Одень куклу» детям предлагают измерить рост куклы и выкроить для нее из цветной бумаги платье соответствующего размера (длины). Можно дать задание сделать заготовки для ремонта книг. Дети получают бумажные полоски и мерки, измеряют полоску и говорят, сколько заготовок можно сделать.
Хорошим упражнением является измерение отрезков прямых линий. Детей учат рисовать на бумаге в клетку равные и неравные отрезки, произвольно располагать их на листе, а затем измерять с помощью подсчета клеток и сравнивать результаты, то есть количество клеток, которое укладывается в длине измеряемых отрезков.
Когда дети научатся измерять протяженности (длину, ширину, высоту) предметов, им можно показать способы измерения жидких и сыпучих веществ с помощью условных мер. При этом количество крупы или жидкости подбирается с таким расчетом, чтобы мера в измеряемых объемах содержалась целое число раз.
Первый раз при определении количества крупы дети раскладывают ее в отдельные кучки, равные мерке (например, ложке), а при определении объема воды ее разливают в стаканы (мерки), а затем подсчитывают их количество.
Измеряя количество крупы, дети ссыпают ее в одну посуду, а определяя количество воды, выливают ее в один сосуд и по ходу измерения откладывают фишки, которые затем подсчитывают. Воспитатель обращает внимание детей на то, как важно измерять точно и аккуратно, на конкретных примерах показывает, что неточные действия приводят к ошибочному результату: при определении количества крупы мерка (ложка, чашка, стакан) должна наполняться точно до края, а при измерении объема воды мерка (стакан, чашка, мензурка) – до определенного уровня, но вода не должна доходить до верхнего края, иначе ее можно расплескать.
Так в процессе обучения измерению у детей вырабатывается умение считать непрерывные величины (протяженности, сыпучие и жидкие вещества).
Впоследствии, измеряя объемы сыпучих и жидких веществ разными условными мерками, сравнивая результаты измерений, дети, как и в случае измерения протяженностей, устанавливают зависимость между величиной измеряемого предмета, мерой и их общим количеством (итоговым числом).
Наряду с этим воспитатель на конкретных примерах показывает детям неизменность (константу) величины (длины, объема, веса) в случае действий перемещения предметов с места на место, пересыпания количества крупы, переливания воды из одной посуды в другую и, наоборот, ее изменение в результате увеличения или уменьшения их количества (удлинение отрезка, добавление воды, крупы и т. п.). Дети убеждаются в этом, проверяя факты измерением.
В процессе обучения измерению большое внимание уделяется развитию глазомера. Детям предлагают на глаз определить разницу в величине предметов: сколько раз та или иная мерка уложится в длине, ширине или высоте предмета; сколько стаканов воды поместится в графине и др. Затем они также путем измерения проверяют точность своих предположений.
У детей развивают «чувство веса», учат сравнивать предметы «по тяжести» (тяжелые – легкие), подбирать равные и неравные по весу предметы, «взвешивая» их на ладонях (в руках). Воспитатель на конкретных примерах рассматривает независимость веса от размера предмета (большой воздушный шар легче маленького деревянного или металлического шарика); знакомит детей с элементарными весами (чашечные, пружинные), объясняет, что весы используют для более точного определения веса предметов.
Когда дети усвоят сущность использования условных мер, воспитатель знакомит их с приемами быстрого подсчета предметов. При этом в качестве меры за единицу счета принимается не один, а несколько предметов, например, два. Особенностью этих упражнений является темп, быстрота счета (сначала счет ведется в пределах 10, потом 20). Например, воспитатель говорит: «Два» – и ставит на стол два кубика, «Четыре» – и ставит на некотором расстоянии от первых кубиков еще два кубика, «Шесть» – и предлагает ребенку дополнить группу нужным количеством кубиков, поставив их также на некотором расстоянии от остальных, и т. д.
В дальнейшем, упражняясь в количественном счете, дети начинают понимать: считать парами (тройками, пятками) быстрее. Если считать парами до 10, получится пять групп предметов по два в каждой, а если считать пятками (по пять), то получится всего две группы (при неизменном общем количестве предметов в группе).
Форма 
Задача воспитателя подготовительной группы – углублять, расширять и систематизировать представления детей о геометрических фигурах. С этой целью проводятся упражнения, в которых дети анализируют различные свойства фигур, например, равенство и неравенство сторон, соотношение углов и вершин и другие особенности; воссоздают модели различных фигур. В подготовительной группе детей учат более тонким дифференцировкам фигур и форм предметов, например, предлагают назвать предметы в форме квадрата и куба, круга и шара, прямоугольника и цилиндра. Можно, не называя фигур, показать карточки с их изображением.
Работа с геометрическим материалом тесно увязывается с содержанием раздела «Количество и счет». Геометрические фигуры и их элементы используются для счета, проведения измерительных операций, в качестве наглядной основы при формировании представлений о величине и ее долях, решении различного рода практических задач. Работа с геометрическим материалом имеет большое значение для развития как конкретного (наглядно‑образного), так и абстрактного мышления.
В старшей группе детей уже знакомили с понятие четырехугольник , используя квадрат и прямоугольник. Теперь необходимо объяснить, что четырехугольник – фигура с четырьмя углами и четырьмя сторонами. Рассматривая четырехугольники, дети убеждаются, что они могут быть равными и неравными между собой. Можно дать несколько заданий, например: назвать предметы четырехугольной формы; форму четырехугольных предметов, нарисованных на картинках, подобрать (сгруппировать) предметы такой формы.
Необходимо учить детей не только различать, но и конструировать, воссоздавать фигуры. Например, воспитатель предлагает нарисовать на бумаге в клетку квадрат, стороны которого равны четырем клеткам; затем нарисовать квадрат, стороны которого на одну клетку больше, чем у первого; четырехугольник, у которого верхняя и нижняя стороны равны четырем клеткам, а левая и правая – двум. После выполнения задания следует спросить детей, какую фигуру они изобразили.
Можно предложить нарисовать четырехугольник с равными сторонами (каждая равна восьми клеткам), разделить его на две фигуры (слева направо или сверху вниз) и назвать, какие фигуры получились. На следующих занятиях воспитатель предлагает разделить квадрат по диагонали (с угла на угол) и назвать получившиеся фигуры. И в том, и в другом случаях дети могут закрасить (заштриховать) одну или обе фигуры (четырехугольник, треугольник) цветным карандашом.
Подобные упражнения готовят детей к выполнению заданий на видоизменение геометрических фигур: из двух, четырех, восьми частей составить целый овал; из двух, а затем четырех и более частей – треугольник, четырехугольник; из четырех‑восьми маленьких квадратов – один большой квадрат и т. п.
На основе знаний о треугольнике и четырехугольнике воспитатель вводит новое понятие многоугольник.  Он показывает модели треугольников и четырехугольников разных видов, предлагает рассмотреть их и ответить на вопрос: «Что общее у этих фигур?». Следует привлечь внимание детей к наличию сторон, вершин и углов у треугольников и четырехугольников, спросить, сколько углов и вершин у каждой из фигур; как одним словом можно назвать разные фигуры (.многоугольники ); рассмотреть частные случаи многоугольника (пятиугольник, шестиугольник  и т. д.).
Можно использовать такие задания: «Из 10 палочек одинакового размера выложить несколько многоугольников», «Нарисовать разные многоугольники в тетради в клетку», «Составить свою фигуру (по собственному замыслу)». Целесообразно также упражнять детей в разных способах классификации фигур. Например, предложить сначала распределить все фигуры на две большие группы (круглой формы и многоугольники), затем среди многоугольников выделить четырехугольники и треугольники и, наконец, среди четырехугольников найти квадраты. Далее сгруппированные по форме фигуры можно систематизировать по размеру, а внутри образованных групп – по цвету и т. д.
Полезны такие задания, как: «Найди лишнюю фигуру в ряду», «Назови, какой фигуры не хватает?», «Какая фигура пропущена?», «Продолжи ряд фигур» (поиск и составление закономерности), «Назови предметы одинаковой (разной) формы», «Найди свой значок», «Сложи фигуру», «Подбери фигуры по форме и размеру» и др.
В подготовительной группе воспитатель продолжает развивать у детей геометрическую зоркость: умение видеть форму предмета в целом и отдельных его частей. С этой целью можно предложить детям выполнить задание на составление целых предметов из множества частей, например, собрать из осколков (восьми‑десяти и более мелких частей) разной формы разбитую чашку (чайник и др.).
Воспитатель может познакомить детей с простыми задачами‑головоломками на выкладывание контура геометрических фигур из палочек. Например, предлагает подумать, как можно сложить два квадрата из семи палочек, прямоугольник из шести палочек, три треугольника из семи палочек; можно ли сложить из пяти палочек два треугольника и один квадрат. Эти задачи также способствуют развитию сообразительности, памяти, мышления, пространственного воображения, создают хорошую основу для общего и математического развития ребенка. Полезно рисовать геометрические фигуры на бумаге в клетку: например, чертить треугольники разных видов, наметив три точки и соединив их отрезками прямой; проводить прямые линии в заданном направлении и заданной длины (например, длиной, равной восьми, десяти, двенадцати и более клеткам), считать их; рисовать фигуры с интервалом в одну или несколько клеток, создавая собственные творческие композиции или заданные последовательности.
Для уточнения свойств некоторых объемных тел (куб, цилиндр и др.) полезно конструировать их по выкройкам и чертежам.
Полезно также измерять длину и ширину прямоугольников, определять форму различных заготовок для занятий, вырезать фигуры заданных размеров из бумаги в клетку, изготовлять из бумаги или картона изделия заданной формы (закладки для книг, поздравительные открытки, салфетки и пр.), создавать фигуры по описанию их свойств, видоизменять фигуры по условиям, заданному результату и многое другое.
В процессе выполнения упражнений с геометрическим материалом у ребенка развивают наблюдательность, способность подмечать сходство и различие сравниваемых явлений и фактов, делать доступные обобщения (например, треугольники и четырехугольники бывают разных размеров, разного вида; они, как и пятиугольники и другие фигуры с углами, являются разновидностью многоугольника).
Ориентировка в пространстве 
У ребенка развивают и закрепляют умение ориентироваться в пространстве с помощью условных обозначений (стрелок – указателей движения), планов, маршрутов и схем; учат определять направления движения объектов, отражать в речи их взаимное положение.
Особое внимание воспитатель должен уделить формированию у детей навыков безопасного поведения на проезжей части улицы, связанного с ориентировкой в пространстве. С этой целью проводятся различные игры и упражнения, например, «Я – пешеход», «Что нужно помнить при переходе улицы?», «Как нужно обходить транспорт?», «Выбери правильный ответ», «Правильно ли поступил Незнайка?» и др.
Особое место занимает работа по развитию ориентировки на плоскости (листе бумаги, странице книги, тетради, планшете и т. п.). Методика работы, как и в других группах детского сада, основана на выделении противоположных направлений: слева – справа, вверху – внизу. Наряду с этим у детей шести лет формируют более тонкие пространственные дифференцировки: умение находить точку, строчку, столбец на клетчатой бумаге по описанию их места, правый и левый, верхний и нижний края листа, левый верхний (левый нижний), правый верхний (правый нижний) угол; учат аккуратно, соблюдая одинаковые интервалы, располагать предметы в определенном направлении: слева направо (справа налево), сверху вниз (снизу вверх). Например, предлагают положить четыре цветочка у верхнего края листа и столько же листочков у нижнего края; сказать, есть ли фигуры с левой, а затем с правой стороны листа и какие; рассказать, что где лежит. Далее используются более сложные варианты заданий, в которых увеличивается количество фигур, меняется их расположение и т. п. Полезно проводить зрительные диктанты на расположение предметов (фигур) на листе, упражнять в составлении композиций (орнаментов) с последующим вербальным обозначением пространственных отношений элементов. Рекомендуется также проводить игры: «Кто запомнит и расскажет?», «Что изменилось?», «Чем отличаются?», «Парные карточки», «Путешествие по лабиринту», «Опиши путь сказочного героя» и др.
Ориентировка во времени 
С детьми шести лет проводится работа по формированию и закреплению понятий о движении времени, его периодичности, сменяемости и в то же время необратимости. Она осуществляется постепенно – на основе накопления у детей личного опыта восприятия времени. В соответствии с программой воспитатель закрепляет представления детей о последовательности дней недели, времен года, месяцев; знакомит с тем, что их последовательность постоянна (весна сменяет зиму, лето – весну и т. д.; на смену январю приходит февраль, затем март и т. д.; за понедельником следует вторник, среда и т. д.
Детям дают элементарное представление об измерении времени: семь суток составляют неделю, двенадцать месяцев – год.
На основе ежедневных наблюдений и организации игровых упражнений воспитатель формирует у детей понимание временных отношений: сначала, потом, до, после, раньше, позже, в одно и то же время , учит пользоваться этими понятиями в жизни.
Особое место в работе по развитию представлений о времени занимают дидактические игры: «Что за чем следует?», «Дни недели», «Было – будет», «Продолжай», «Который час?», «Вчера, сегодня, завтра», «Машенькин день», а также словесные игровые упражнения: «Расскажи о времени», «Расскажи о своем распорядке дня», «Дополни предложение словами, обозначающими время», «Придумай предложения с вопросом: „В котором часу?“», «Придумай загадку о времени (часах)» и др. Полезно также проводить такие игры, содействующие уточнению и развитию временных представлений, как: «Кто работает рано утром?», «Кто работает днем?», «Путешествие ночью», сопровождая их чтением стихотворений из книги Б. Яковлева «Утро, день, вечер, ночь», С. Маршака «Ночная страница» и др.
При знакомстве с названиями и последовательностью месяцев целесообразно использовать сказку С. Маршака «Двенадцать месяцев».
В подготовительной к школе группе у ребенка развивают «чувство времени», учат беречь его, соблюдать режим, что очень важно будущему школьнику. Для этого полезно упражнять ребенка в дифференцировании длительности различных временных интервалов: одна минута, десять минут, один час и др., давать задания типа «Что ты можешь успеть сделать за одну минуту (десять минут, один час)?» и т. п.
Можно организовать увлекательные занятия и игры с календарем, познакомить детей с часами (в том числе песочными) и циферблатом, научить определять время по часам с точностью до одного часа, устанавливать время на макете часов с циферблатом, определять по ним, кто из сказочных персонажей раньше (позже) проснулся, лег спать, добрался до финиша и т. п.

ПРИМЕРЫ ЗАНЯТИЙ 

Занятие 1 
Цель.  Формировать у детей общие представления о действии сложения как объединении частей в единое целое, об отношении и зависимости части и целого. Закрепить представления о равенстве и неравенстве: воссоздавать равное (и неравное) количество предметов по образцу и заданном числу. Учить определять последовательность всех дней недели, пользоваться в речи предлогами и наречиями, обозначающими пространственно‑временные отношения: перед, за, между, рядом, сначала, потом, до, после, раньше  и др.
Ход занятия 
Часть 1. Коллективная работа.  Предложите детям составить два множества: одно – из 5 легковых машин, другое – из 4 грузовых машин, поставить машины в два ряда, установив между ними соответствие 1:1; сосчитать предметы обеих групп; назвать, каких больше (меньше), а также какое число больше (меньше) и на сколько; обозначить число элементов каждого множества нужными цифрами.
Объедините две группы транспорта в одно множество легковых и грузовых машин. Спросите у детей: больше или меньше получилось множество машин при объединении двух групп? Двух частей? (Множество получилось больше, чем отдельные части.) Попросите детей сосчитать количество предметов объединенного множества (9) и еще раз пересчитать количество элементов каждой его части, а затем рассказать, как получилось множество из 9 предметов. Поощряйте ответы детей, в которых содержится развернутое объяснение их действий: «Мы объединили два множества (две группы), добавив к 5 легковым машинам одного множества 4 грузовые машины другого множества, и получили одно новое большое множество (группу). Оно составлено из разных машин. Это множество имеет две части: одна часть – легковые машины, а другая – грузовые».
Предложите детям сравнить каждую часть множества с целым множеством. При сравнении побуждайте их использовать речевые конструкции: «Целое множество больше каждой своей части, а часть меньше целого множества». «При добавлении к одному множеству другого оно увеличивается, так как две части множества (целое множество) больше, чем одна его часть».
Часть 2. Самостоятельная работа.  Предложите детям выполнить ряд игровых действий, например: «отсчитать столько же», «отложить больше (меньше) на 1», «назвать число, большее (меньшее) на 1». Спросите: «Какое число больше пяти (шести, семи, восьми, девяти) на один?». Затем дайте задание подобрать карточку с соответствующим этому числу количеством предметов или подобрать цифру, которая обозначает число больше или меньше на 1. В процессе выполнения заданий побуждайте детей доказывать правильность своего решения.
Часть 3. Коллективная работа.  Организуйте дидактическую игру «Неделька», в ходе которой одни небольшие группы детей поочередно моделируют порядок следования дней недели, а другие задают вопросы о времени или отвечают на вопросы воспитателя, например: «Расскажите, как построились дети?», «Кто из детей стоит первым (вторым, третьим и т. д.) в ряду, справа (слева от, за, до, перед, между, рядом и т. д.?», «Кто из детей изображает понедельник (вторник, среду и т. д.)?», «Который по счету день недели понедельник (вторник, среда, четверг и т. д.)?», «Какой день (дни) наступает после четверга (следует за пятницей)? Который он по счету?», «Какого дня недели теперь в ряду не хватает?» и т. п.
Затем группы детей меняются и игра повторяется. В заключение подсчитываются фишки, обозначающие число правильных вопросов и ответов.

Занятие 2 
Цель.  Развивать у детей общие представления о действии вычитания как удалении части из целого, о взаимосвязях и взаимозависимостях целого и частей. Закрепить знания состава чисел из двух меньших (в пределах 5) на конкретном материале. Уточнить представление о многоугольнике; обучить способам классификации многоугольников разного вида и размеров; формировать навыки поэтапного самостоятельного выполнения всех действий.
Ход занятия 
Часть 1. Коллективная работа.  Предложите детям рассмотреть множество, составленное из разных фруктов, например, яблок и груш, выделить каждую часть множества и назвать ее (в множестве – две части: одна часть – яблоки, а другая – груши ); сосчитать количество фруктов каждого вида (4 яблока и 3 груши ), а затем общее количество элементов (предметов) в множестве (7 фруктов ).
Попросите детей сравнить части множества по количеству входящих в них элементов, разложив элементы каждой группы друг против друга так, чтобы было видно, какая часть множества больше (меньше) – яблок или груш – и на сколько. Предложите детям еще раз пересчитать элементы каждой части, сравнить числа 3 и 4, установить разностный характер их отношений (3 меньше, чем 4, на 1, а 4 больше, чем 3, на 1); обозначить числа соответствующими цифрами.
Предложите детям вновь разложить все фрукты в один ряд, а затем удалить из целого множества (яблок и груш) какую‑либо его часть (например, груши); проанализировать (сказать), что осталось в множестве. (Еще одна часть – яблоки. ) Попросите детей подвести итог: рассказать, что они делали и что получилось в результате. Поощряйте детей за развернутые пояснения действий: «Мы из множества, состоящего из 7 яблок и груш, удалили 3 груши, осталось 4 яблока» или «Из двух частей множества мы удалили одну часть – осталась еще одна часть». Спросите детей, что больше: целое множество, то есть две его части, или одна его часть. (Две части множества больше, чем одна его часть. )
Привлеките детей к формулировке следующего вывода: «Множество (группа, состоящая из фруктов) уменьшается при удалении из него части предметов (фруктов)». В этом можно убедиться, используя аналогичный прием: восстановить множество в его прежних границах (4 яблока и 3 груши), а затем удалить из него другую часть (яблоки).
Часть 2. Самостоятельная работа.  Предложите детям внимательно рассмотреть имеющиеся у них многоугольники разных видов и размеров. Выявите их многообразие (треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.), а затем их характерные особенности (наличие углов и сторон, равенство количества углов и сторон).
Дайте детям задание на изготовление моделей разных углов и многоугольников с помощью куска веревки (шнура) или счетных палочек.
Выполните с детьми поэтапно классификацию многоугольников, сначала разобрав фигуры в соответствии с количеством углов, а затем размерами. Предложите рассказать, что и как (в какой последовательности) они сделали.
Часть 3. Коллективная работа.  Предложите детям составить число 5 из двух меньших чисел, используя предметы и модели фигур разного цвета и размера. Побуждайте детей рассказывать, как (из каких двух меньших чисел) они составили число 5 и какие возможные варианты они использовали для его получения (4 и 1, 1 и 4, 3 и 2, 2 и 3). Проведите игру «Угадай, в какой руке сколько».
Самостоятельная работа.  Предложите детям рассмотреть имеющиеся у них наборы монет достоинством в 1, 2, и 5 рублей, показать и назвать их. Затем организуйте игру «Магазин», «выставив ценники на товарах».
Занятие 3 
Цель.  Продолжать учить детей составлять простые арифметические задачи по указанным числовым данным, самостоятельно определять тему и содержание задачи, отвечать на ее вопрос, кратко отображать условие задачи с помощью его схематичного изображения на рисунке; ориентироваться на листе бумаги в клетку; формировать навык проведения прямых линий и измерения их по клеткам. Упражнять в сравнении рядом стоящих чисел.
Ход занятия 
Часть 1. Самостоятельная работа.  Предложите детям внимательно рассмотреть бордюр на образце (например, чередующиеся последовательности из палочек и точек разного цвета), а затем повторить его на странице рабочей тетради в клетку. Перед началом работы спросите у детей: «Из каких элементов состоит бордюр? Как расположены красные и синие палочки? Где расположены точки? По скольку в ряду точек каждого цвета?» Обратите внимание детей на то, в каком порядке надо рисовать бордюр. Затем закройте образец и предложите детям воспроизвести его. По окончании работы откройте образец и дайте возможность каждому ребенку проверить правильность выполнения задания.
Часть 2. Самостоятельная работа.  Предложите детям нарисовать на странице тетради в клетку карандашами разного цвета два отрезка прямых линий с разницей длины в одну клетку. Обратите внимание детей на то, что отрезки могут располагаться на листе бумаги произвольно (в любом порядке), но длина их не должна превышать 10–12 клеток. После выполнения задания попросите детей определить длину каждого отрезка путем подсчета клеток; сравнить итоговые числа и сообщить о результатах своей работы.
Часть 3. Коллективная работа.  Прочитайте детям задачу: «На участке школы посадили несколько березок и одну ель. Сколько всего деревьев посадили на участке школы?». Выясните у детей: «Можно ли решить эту задачу? (Нет. ) Почему ее нельзя решить? Чего не хватает в условии задачи? Сколько чисел должно быть в условии задачи?». Попросите детей найти ошибку в тексте задачи и подобрать для нее недостающее числовое данное.
Прочитайте детям правильно составленную задачу и попросите ответить на ее вопрос. Спросите, почему теперь можно решить задачу. Подчеркните, что в условии задачи обязательно должны быть два числа.
Затем рассмотрите несколько комбинаций с какими‑либо новыми числами (например, 5 и 1, 9 и 1). Предложите придумать задачи с этими числами. Выслушайте несколько вариантов задач, выберите наиболее удачные и попросите детей ответить на поставленные в них вопросы.
Самостоятельная работа.  Сообщите детям, что сегодня они будут не только придумывать задачи, но и учиться самостоятельно зарисовывать их. Покажите, как это нужно делать: схематически изобразите на доске условие задачи, например, полянку с тремя грибами под елкой и одним – под березой. Попросите детей определить условие задачи и ответить на ее вопрос. Затем предложите им раскрыть свои тетради, придумать свою задачу с числами 3 и 1 и сделать рисунок к условию задачи. В процессе работы обратите внимание детей на то, что рисовать нужно условие, а не ответ задачи, и предметы для рисования выбирать простые, которые легко изобразить (например, яблоки, сливы, флажки, геометрические фигуры и т. п.).
По завершении работы выберите наиболее удачный рисунок и предложите определить его содержание. Также возьмите рисунок, на котором ребенок изобразил ответ, а не условие задачи. Предложите детям внимательно рассмотреть этот рисунок и ответить на вопрос: «Можно ли по такому рисунку составить задачу?». В конце занятия дайте детям возможность обменяться своими рисунками друг с другом и проверить, правильно ли на них изображено условие задачи.

Рекомендуемая литература для воспитателей

Венгер Л. А. Больше, меньше, поровну // Дошкольное воспитание. – 1993.– № 1. – 1994. – № 10. – 1996. – № 6.
Венгер Л. А., Дьяченко О. М. Игры и упражнения по развитию умственных способностей у детей дошкольного возраста». – М., 1989.
Давидчук А. Дошкольный возраст: развитие элементарных математических представлений // Дошкольное воспитание. – 1996. – № 12. – 1997. – № 1.
Давидчук А. Разновозрастная группа: сенсорное воспитание и развитие элементарных математических представлений // Дошкольное воспитание. – 1999. – № 3.
Давидчук А. Разновозрастная группа: планы‑конспекты занятий по развитию элементарных математических представлений в группе двух‑, четырехлетних детей // Дошкольное воспитание. – 1999. – № 6, 8.
Давидчук А. Разновозрастная группа: планы‑конспекты занятий по развитию элементарных математических представлений у детей 3–5 лет // Дошкольное воспитание. – 1999. – № 9. – 2000. – № 4.
Давидчук А. Разновозрастная группа: сенсорное воспитание и развитие элементарных математических представлений: планы‑конспекты занятий с детьми 4–5 лет // Дошкольное воспитание. – 2000. – № 8.
Давайте поиграем: математические игры для детей 5–6 лет / Под. ред. А.А. Столяра. – М., 1991.
Ерофеева Т. И., Павлова Л. Н., Новикова В. П. Математика для дошкольников. – М., 1997.
Методические рекомендации к «Программе воспитания и обучения в детском саду». – М.: Мозаика‑Синтез, 2005.
Метлина Л. С. Занятия по математике в детском саду. – М.: Просвещение, 1985.
Михайлова З. А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. – М., 1985.
Мусейибова Т. А. Ориентировка в пространстве // Дошкольное воспитание. – 1988. – № 8.
Мусейибова Т. А. Формирование некоторых пространственных ориентаций // Дошкольное воспитание. – 1987. – № 4.
Новикова В. П. Математика в детском саду: конспекты занятий (3–4 года). – М.: Мозаика‑Синтез, 2005.
Новикова В. П. Математика в детском саду: конспекты занятий (4–5 лет). – М.: Мозаика‑Синтез, 2005.
Новикова В. П. Математика в детском саду: конспекты занятий (5–6 лет). – М.: Мозаика‑Синтез, 2005.
Новикова В. П. Математика в детском саду: конспекты занятий (6–7 лет). – М.: Мозаика‑Синтез, 2005.
Новикова В. П. Математика в детском саду: раздаточный материал (3–5 лет). – М.: Мозаика‑Синтез, 2004.
Новикова В. П. Математика в детском саду: раздаточный материал (5–7 лет). – М.: Мозаика‑Синтез, 2004.
Программа воспитания и обучения в детском саду / Под. ред. М. А. Васильевой, В.В. Гербовой, Т.С. Комаровой. – Изд. 3‑е, испр. и доп. – М.: Мозаика‑Синтез, 2005.
Рихтерман Т. Д. Формирование представлений о времени у детей дошкольного возраста. – М., 1991.
Смоленцева А. А. Сюжетно‑ролевые игры с математическим содержанием. – М., 1987.
Содержание и методы умственного воспитания дошкольников / Под. ред. Н.Н. Поддъякова. – М., 1980.
Тарунтаева Т. В. Развитие элементарных математических представлений у дошкольников. – М.: Просвещение, 1980.
Формирование элементарных математических представлений у дошкольников / Под. ред. А. А. Столяра. – М., 1988.
Чего на свете не бывает: Занимательные игры для детей от трех до шести лет / Под ред. О. М. Дьяченко. – М.: Просвещение, 1991.

1